LIVRE QUINZIÈME

Cette pièce d'Euler étant le premier pas que Ton a fait dans la théorie des perturbations planétaires, j'ai cru devoir en donner une analyse étendue. L'auteur y a tracé la route la plus directe et la plus simple pour arriver aux divers résultats de cette théorie. Il a surmonté, par son génie et par son profond savoir en analyse, des obstacles qui, dès les premiers pas, auraient arrêté la plupart des géomètres. Enfin il a donné les formules des inégalités périodiques et séculaires du mouvement des planètes, dont plusieurs sont fautives, mais qu'il serait facile de rectifier en suivant ses méthodes analytiques.

L'Académie, en couronnant la pièce dont je viens de parler, et voulant donner à la théorie dont elle est l'objet une plus grande perfection, proposa cette théorie pour le sujet du prix de mathématiques qu'elle devait décerner en 1 750. Aucune pièce digne du prix ne lui étant parvenue, elle remit le même sujet pour le prix de l'année 1762, qui fut adjugé à une seconde pièce d'Euler. Ce grand géomètre part des équations différentielles de sa première pièce, mais il les transforme en d'autres dans lesquelles l'élément de l'élongation de Saturne à Jupiter est supposé constant. Il considère simultanément les mouvements des deux planètes, et il détermine leurs inégalités indépendantes des excentricités. Passant ensuite aux inégalités dépendantes des excentricités, il cherche à obtenir des intégrales sans arcs de cercle, et pour cela il emploie un moyen très-ingénieux, et peut-être le plus direct et le plus simple que l'on puisse imaginer. On sait que si l'on néglige le carré de l'excentricité, la partie elliptique du rayon vecteur d'une jdanète se réduit au produit pris négativement de l'excentricité par le cosinus de la distance de la planète à son aphélie. Euler conçoit dans le rayon vecteur de Jupiter deux termes semblables rapportés à deux aphélies^ diflFérents : ce qui revient à supposer une double excentricité à l'orbite. La partie elliptique du mouvement de la planète en longitude est alors formée, comme dans le

mouvement elliptique simple, des termes elliptiques du rayon vecteur, dans lesquels on change les cosinus en sinus, en leur donnant pour coeffîciente le double de ceux des cosinus, pris avec un signe contraire. Euler suppose les- parties elliptiques du :rayon vecteur et de la longitude de Saturne formées de termes semblables rapportés à ces deux aphélies. En substituant dans Téquation ►différentielle du rayon vecteur de Jupiter les termes relatifs à Tun de ces aphélies, la comparaison des mêmes cosinus lui donne une expression du mouvement de cet aphélie, qui contient le rapport de Texcentricité de l'orbite de Jupiter relative 'à cet aphélie, à Texcentricité correspondante de Torbite de Saturne. La même substitution dans l'équation différentielle du rayon vecteur de Saturne lui donne iune seconde expression du mouvement de cet aphélie, pareillement dépendante du rapportdes excentricités. De la comparaison de ces deux expressions il obtient, pour déterminer ce rapport, une équation du second degré, dont il choisit une des racines qu il substitue dans ces expressions pour avoir le mouvement de Taphélie. En considérant de la même manière les parties elliptiques relatives à Tautre aphélie, Euler parvient à une autre équation du second degré, qui détermine le rapport des deux excentricités des orbites correspondantes à cet aphélie. Les racines de cette équation sont imaginaires, mais il les rend réelles et égales par un léger changement dans les valeurs des masses des planètes. On est étonné quun aussi profond analyste n'ait pas cherché ce que signifiait la racine qulil né^igeait, et ce qui devait faire préférer l'autre racine. Mais s'il eût bien fait son calcul, dl aurait trouvé que les deux équations du second degré, qu'il obtenait, n'en forment qu'une dont les deux racines sont réelles et donnent les rapports des excentricités correspondantes dans les deux orbites. Euler, malgré l'inexactitude de ^es r^ultats, fit par la considération d'une excentricité multiple des orbites, une découverte importante, dont le développement a démontré la stabi-