LIVRE QUINZIÈME

secarte fort peu des observations. 11 a mis par là hors de doute la diminution séculaire de celte obliquité, que de savants astronomes regardaient alors comme incertaine.

Cest à fort peu près à ces trois pièces que se réduisent les travaux d*Ëuler sur la théorie des perturbations du mouvement des planètes. On n a rien ajouté à cette théorie, jusqu'aux recherches de Lagrange, publiées dans le tome III des Mélanges de la Société royale de Turin, qui parut en 1766. Lagrange y considère les objets traités par Euler dans sa seconde et dans sa troisième pièce, savoir, la variation des éléments du mouvement elliptique, et le moyen d'intégrer les équations différentielles du mouvement des planètes sans introduire d'arcs de cercle dans les intégrales. Lagrange ne parait pas avoir connu ces pièces d'Euler, qui n'ont été publiées qu'en 1 769. Pour obtenir les variations différentielles des éléments du mouvement elliptique, Lagrange étend au rayon vecteur les mêmes considérations par lesquelles Euler, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1 760, avait déduit de l'expression de la latitude les variations différentielles de l'inclinaison de l'orbite et du nœud. Il différentie l'expression elliptique du rayon vecteur, et U égale à zéro la partie de celte différentielle qui dépend des variations de l'excentricité et de la longitude de l'aphélie, ce qui lui donne une première équation entre les différenti^es de ces éléments. La différentielle du rayon vecteur devient ainsi la même que dans l'ellipse invariable. Il la diffé* rentie de nouveau, et il obtient entre les variations des deux mêmes déments une seconde équation, dans laquelle il substitue, au lieu de la différence seconde du rayon vecteur, sa valeur donnée par les équations différentielles du mouvement de la j^nète. Mais ces équations sont inexactes, parce qu'elles ne ren-^ ferment point la variation du grand axe, à laquelle Lagrange n'a point eu égard, non plus qu'à la variation de l'époque.

Le moyen par lequel Lagrange obtient les intégrales du mou-

vement des planètes sans arcs de cercle, quoique beaucoup moins simple que celui d'Euler, est très -ingénieux. Il consiste à égaler chaque terme des équations différentielles des mouvements de Jupiter et de Saturne à une nouvelle variable, à différentier ces variables et leurs valeurs, et à combiner les équations qui en résultent avec les équations différentielles des coordonnées des planètes, de manière à obtenir entre toutes ces variables un système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants, qui! intègre par un procédé fort simple. Il détermine ainsi les rayons vecteurs des deux planètes, et il est conduit, par son analyse, aux deux excentricités qu'Euler avait imaginées pour chaque planète. Mais son calcul étant exact, il ne trouve qu'une seule équation du second degré pour déterminer les rapports des excentricités des orbites des deux planètes relatives au même aphélie. En appliquant cette méthode aux équations différentielles de la latitude, ce grand géomètre représente la latitude de chaque planète au moyen de deux inclinaisons rapportées à deux nœuds différents, et il détermine par les racines d'une seule équation du second degré les rapports des inclinaisons des orbites des deux planètes relatives au même nœud. En développant ses formules en séries, il donne les expressions analytiques et numériques des variations séculaires, des excentricités, des aphélies, des inclinaisons et des nœuds des orbites de Jupiter et de Saturne, expressions dont j'ai reconnu l'exactitude. Il parvient enfin à deux équations séculaires proportionnelles au carré du temps, l'une additive à la longitude moyenne de Jupiter, l'autre plus grande et soustractive de la longitude moyenne de Saturne. Euler, comme nous l'avons dit, trouvait ces inégalités les mêmes, et toutes deux additives à la longitude. Mais le résultat de Lagrange, quoique plus conforme que celui d'Euler à ce que les observations semblaient indiquer^ n'en est pas plus exact.

Je présentai, en 1 778 , à l'Académie des sciences, mes premières