LIVRE QUINZIEME

Lagrange envoya, en 1774, à l'Académie des sciences un beau Mémoire sur les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites planétaires, mémoire qui parut dans le volume de T Académie de la même année. Ce grand géomètre y détermine les mouvements des orbitea par la méthode de la variation des éléments; mais, au lieu de Tinclinaison et de la longitude du nœud, il considère deux autres variables qui sont les produits de Tinclinaison par le sinus et par le cosinus de la longitude du nœud, et il détermine leurs expressions différentielles. Cette transformation des variables, dont il a £ait ensuite un heureux usage dans sa théorie de la libration de la lune, a l'avantage de réduire les équations différentielles qui déterminent les inclinaisons et les nœuds d'un système d'orbites à des équations différentielles linéaires à coeffi- ' dents constants, et dont le nombre est double de celui des planètes. Ayant ramené les variations séculaires de l'excentricité et de la longitude du périhélie à leur forme la plus simple, il me devint facile de leur appliquer une transformation analogue, en considérant, au lieu de ces deux variables, les produits de l'excentricité par le sinus et par le cosinus de la longitude du périhélie. J'en conclus les variations séculaires de ces nouvelles variables. Je considérai ensuite ces variations comme le développement en série de ces variables, suivant les puissances du temps; or le coefficient de la première puissance du temps, dans ce développement, est la différentielle de la variable, divisée par l'élément du temps; j'égalai donc ce quotient au coefficient du temps dans l'expression de l'inégalité séculaire de la variable; ce qui me donna une équation linéaire du premier ordre entre les variables. L'autre variable me donna une équation pareille. En étendant la même considération à toutes les variables semblables d'un système quelconque de planètes, j'obtins, pour les déterminer, un nombre d'équations différentielles linéaires du premier ordre double de cdui des planètes; et je fis ainsi disparaître les arcs de cercle

introduits par l'intégration des équations différentielles suivant la méthode ordinaire, qui a l'avantage de conduire par la voie la plus simple aux approximations les plus convergentes et les plus appropriées aux usages astronomiques. Je publiai, dans la première partie des Mémoires de l'Académie des sciences pour l'année 1772, et qui parut en 1776, ces résultats et cette nouvelle méthode de faire disparaître les arcs de cercle puisée dans la nature même des séries. La forme très-simple des équations différentielles des éléments elliptiques auxquelles j'étais parvenu me fit reconnaître un des éléments les plus importants du système du monde*, sa stabilité. Ces équations étant linéaires à coefficients constants, leur intégration donne l'expression finie de chacune des variables par une suite de sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, et dont les coefficients du temps, dans chaque angle, sont les racines d'une équation algébrique d'un degré égal au nombre des planètes. Si toutes les racines sont réelles et inégales, ces diverses expressions sont périodiques, et les variables restent toujours fort petites; le système des planètes ne fait donc alors qu'osciller autour d'un état moyen dans d'étroites limites. Mais si quelques-unes des racines étaient imaginaires ou égales entre elles, les sinus et les cosinus correspondants se changeraient en exponentielles ou en arcs de cercle qui, croissant indéfiniment avec le temps, donneraient aux variables, de grandes valeurs; et changeraient considérablement la forme des orbites. Heureusement je suis parvenu, d'une manière fort simple, exposée dans les Mémoires de l'Académie des sciences pour l'année 1 784, à faire voir que, quelles que soient les masses des planètes, pourvu qu'elles soient fort petites par rapport à la masse du soleil, par cela seul qu'elles se meuvent toutes dans le même sens autour de cet astre et dans des orbes presque circulaires et peu inclinés entre eux, l'équation algébrique dont je viens de parler n'a que des racines réelles et inégales. En appliquant les mêmes raisonne-