LIVRE QUINZIÈME

[a, a) étant la partie indépendante de 6 dans le développement

de (tf— aaa'. COS. 0+ a'*) *, suivant les cosinus de d et de ses multiples, [a, a'Y étant le coefficient de cos.9 dans ce développement, et la caractéristique 2 servant à exprimer la somme de toutes les quantités semblables à celle qu'elle précède, et que l'on peut former en considérant deux à deux les masses m, m, m\ etc. on aura les équations suivantes :

^ dh r- (dF\

'df^= [dh)^

,dh',- /dF\

m etc

Ces équations sont les équations [A) et (C) des n*"' 55 et 59 du second livre. Lagrange a donné le premier les équations (C) relatives aux inclinaisons et aux nœuds des orbites, dans les Mémoires de r Académie des sciences de 1774. J'ai donné les équations (il) dans les Mémoires de l'Académie des sciences de 1772. Toutes ces équations sont linéaires et facilement intégrables par les méthodes connues. Leur forme symétrique et fort simple m'a fait voir que leurs intégrales ne renferment, par rapport au temps, ni exponentielles, ni arcs de cercle, et qu'ainsi les excentricités et les inclinaisons des orbites sont fonctions de sinus et de cosinus d'angles croissants avec une grande lenteur, et indépendants

de la configuration mutuelle des planètes; en sorte que les orbites planétaires ont toujours été et seront toujours presque circulaires et peu inclinées entre elles ; ce qui assure la stabilité du système planétaire. Il est facile de voir que les équations précédentes donnent

m. \Jâ [hdh -hldl)-i- m \Ja [lîdK -^ ïdï ) -+- etc. = o , m. \Ja [pdp -hqdq) -+- m \Jd [pdp -t- qdq') -+- etc. = o ;

d'où Ton tire en intégrant :

É»* . m y a -t- e* . m. \Jà -h etc. = C, 7*. m \/â-}- y *. m', y/a H- etc. = C

C et C étant deux constantes très-petites , il en résulte que e, e\ etc. y, y\ etc. seront toujours des quantités très-petites.

Lagrange, dans la seconde édition de sa Mécanique analytique, observe que si la masse rn est très-petite par rapport à m, comme Mars relativement à Jupiter, dont il n'est pas la centième partie, alors le terme e^nîsja sera toujours du même ordre que e^msja, quoique e croisse considérablement et devienne même égal à l'unité. Il en conclut que l'on ne peut être alors assuré que e* conservera toujours une petite valeur, qu'en résolvant l'équation algébrique qui détermine les coefficients du temps, dans les sinus et cosinus des expressions de h, l, h\ l\ etc. et en s'assurant que les racines de cette équation sont toutes réelles. Mais si ce grand géomètre eût considéré ce que j'ai dit dans les Mémoires de l'Académie des sciences de 1784» et dans le n*" 57 du second livre de la Mécanique céleste, il aurait vu que, sans recourir à cette résolution, je démontre que ces racines sont toutes réelles et inégales.