LIVRE QUINZIEME

Sur le développement en série des puissances du radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes.

3, Si Ton nomme r et r les rayons vecteurs de deux planètes, et d Tangle au soleil compris entre ces rayons, la distance mutuelle des deux planètes sera

y/r* — 2 rr. cos. d -h r * :

r et r diffèrent toujours peu des moyennes distances a et a de ces planètes, en sorte qu'en désignant r par a + 5r, r par a+hr, on aura, en développant le radical dans une série ordonnée suivant les puissances et les produits de hr et de 5r, une suite de termes multipliés par les puissances successivement décroissantes du radical

y/a* — laal. cos.d -J- d\

Supposons à plus grand que a, et faisons — = a; ce radical devient

a . \J\ — 2 a. COS. Ô -4- a*.

Oonsidérons généralement la puissance

(i — 2a. cos.0-4-a') '*,

^ * supposons qu en la développant dans une série ordonnée par i:^<aipport à cos.0, cos.2 0, etc. on ait la suite

c^M aura, par le n*" 49 du second livre,

Cette équation aux différences finies peut être intégrée au moyen ^^intégrales définies, par la méthode que j'ai donnée dans ma

Théorie analytique des probabilités. En faisant d'après cette méthode

(p étant une fonction de x, il faut déterminer (p et les limites de l'intégrale fcàC^dx; ce que Ton fera de cette manière.

On substituera cette valeur de h^^^ dans l'équation aux différences finies (a) , qui devient ainsi

0= (1—5) (t.fcé.(pdx — [i—\) {i+a^)fx'-\Çidx+{i+S'-2)a.faf-^*(pdx. En intégrant par partie, on aura

0= af-'. 9[a — (1 -4- a') a; H- aaf] '-\-fx'-\(pdx[{s — i)a-l-(n-a')a; — (5-4-1) oa:*]

Cette équation doit, suivant la méthode que j'ai citée, se partager en deux, en égalant séparément à zéro les termes compris sous le signe intégral; ce qui donne

o = (p.[[s—i)œ+(i+a')x—{s+i)ouv*].dx—xd^[(Z'-[i+a^^ o=a;'~*.(p.[a-(n-a*)a;+aaf].

La première de ces équations donne, en l'intégrant,

^ [a — (! + «•) x + ax*]"

H étant une constante arbitraire. La seconde équation qui sert à déterminer les limites de l'intégrale donne pour les limites de l'intégrale fxf^dx,

o = a:»*-"'-* [a — ( i -h a*) a; -f- oof ] '-'.

On peut toujours supposer s moindre que l'unité, parce qu'ayant pour ce cas la valeur de b^^ , on peut, par le n** 49 du second