LIVRE QUINZIÈME

Pour déterminer H, nous observerons que b^[^ étant le coefficient

de cos, 10, dans le développement de (i — 2 a. cos. 0-ha*) • , ou de

\i — a.c J \i — ac ) ,

on a

,,(.) 1.3. 5. ..(21—1) T 21+1 1 , 21+1.21+3 1.3 , ^1 W = 7-^^^ — r-' . aM 1+ -^— . - . a*+ . — 7.a*+ etc. .

Considérons 6^^ comme fonction de i et de a, et développons cette

fonction suivant les puissances descendantes de i. Le premier terme du facteur

est

ou

— r-— .-.a'-f- =z=r-=zzz.— r »*-+- etc.

iH — . cC-v T . a*-+- etc.

liC premier terme du facteur

développé suivant les puissances descendantes de i, peut être ainsi déterminé. On a par les théorèmes connus, pour le premier terme ^u produit, 1.2.3 — ii, la quantité

et pour le premier terme du produit 1.2 i, le terme

le facteur précédent devient ainsi . Le premier terme de la

valeur de ^b^'i réduite en série par rapport aux puissances des-

cendantes de i est donc

mais par ce qui précède, ce premier terme est

on a donc

et par conséquent

(.) 4»' /• (1— <')'. dt

it.Sl \ — a.'

l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu à t égal à Tunité. a étant toujours moindre que Tunité, on voit que les valeurs de 6^|^ de-

viennent de plus en plus petites, et qu'ainsi la série du dévelop-

pement de (1 — aa.cos.ô-ha*) * est très-convergente.