LIVRE QUINZIEME

De la grande inégalité de Jupiter et de Saturne.

4. Il résulte du n*" 65 du second livre qu'en considérant l'orbite troublée d'une planète comme une ellipse variable, si l'on nomme ^ la longitude moyenne de Jupiter, ^' celle de Saturne, l'expression différentielle des grands axes donne les deux équations dififérentielles

^=7'.sin.(5?'-2^-+-i),

q, q\ A étant fonctions des demi-grands axes des deux planètes, que nous désignerons par a pour Jupiter et par a pour Saturne, des excentricités et des inclinaisons des orbites, des longitudes des périhélies et des nœuds, enfin des époques de la longitude. Nous regarderons ici ces quantités comme constantes, ce qui, pour notre objet, peut être supposé sans erreur sensible. En faisant donc

nous aurons

-^ = (57'— 2 7)sin.F,

d'où l'on tire, en multipliant cette équation par dV et en l'intégrant,

dV

-T- = yc* — (109' — 4 7) COS. K,

c étant une constante arbitraire. Relativement à Jupiter et à Saturne, c est égal à bn — 2/1, nf et rît étant les parties non périodiques de leurs longitudes moyennes.

406 MÉGANIQUE CELESTE.

Si c* surpasse (lo^' — 4 7) pris positivement, on pourra réduire en série convergente la quantité sous le radical, et alors on obtient, pour Jupiter et Saturne, la valeur qui résulte des formules du sixième livre. Mais si c* est moindre que loq' — 4 (J pris positivement, l'angle V ne peut plus croître indéfiniment; il ne peut qu'osciller autour de l'un de ces deux points, aiéro et la demicirconférence. Ce changement de révolution en oscillation aura lieu si, en faisant varier n et n de an et an, on a

5 n — 2n-\-Sâ n — 2 S /i = yio^^— 47 ,

la quantité sous le radical étant prise positivement. Cette quantité peut être supposée sensiblement la même pour toutes les valeurs 5 w et 5 n, pourvu qu'elles soient fort petites relativement à n et n, parce que les demi- grands axes a et a dont q et 7' dépendent restent alors à très-peu près les mêmes. Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont, à fort peu près,

7= — j r- . Sm. V , 77 — jF r: . Sm. r .

(5n— an)* (671—271)»

Dans les dernières tables de M. Bouvard, ces inégalités sont, en secondes centésimales,

3662\4 . sin. V, — 8895",7 . sin. V;

ce qui donne

q =z — (57i' — 27i)\ 3662*,4, qz=(^Sn — 2ny.SS'jb\'j.

En réduisant les arcs en parties du rayon, on a

dV les deux limites de l'oscillation de ^— sont donc

ài[Sn — 27i).o,4o42.