LIVRE SEIZIEME

plus anciens astronomes. Il parait donc que la précession des équinoxes était inconnue aux Ghaldéens.

Hipparque perfectionna la période chaldéenne en la comparant à un grand nombre d'éclipsés. Il fixa l'inclinaison de l'orbite de la lune et son équation du centre à 5 degrés dans ces phénomènes. Mais il remarqua que cette équation ne représentait point dans les quadratures ses observations, qui offraient alors de grandes anomalies. Ptolémée, suivant avec soin ces anomalies, fut conduit à la découverte de l'inégalité lunaire que Ton nomme évection, dont il détermina la valeur avec beaucoup d*exactitude.

Les astronomes n'ajoutèrent rien à la théorie de la lune de Ptolémée, jusqu'à Tycho-Brahé qui, en comparant cette théorie avec ses observations de la lune dans les octants, reconnut l'inégalité de la variation dont le maximum correspond à ces points. L'exactitude de ses observations lui fit encore reconnaître que l'équation du temps propre au soleil n'était point applicable sans correction à la lune, et qu'il fallait, pour ce dernier astre, la corriger d'une quantité dépendante de l'anomalie du soleil. Les astronomes ont ensuite appliqué cette correction au mouvement de la lune, en donnant à cet astre la même équation du temps qu'à tous les autres; ce qui ajoute à son mouvement l'inégalité connue sous le nom d'équation annuelle. On supposait avant Tycho- Brahé l'inclinaison de l'orbite lunaire constante, et le mouvement de ses nœuds uniforme. Ce grand astronome dut encore à la bonté de ses observations la connaissance des deux inégalités principales de ces éléments, d'où résulte la principale inégalité de la lune en latitude.

Tel était Tétat de la théorie de la lune lorsque Newton entreprit d appliquer à cette théorie le principe de la pesanteur universelle. Il publia ses recherches sur cet objet dans le troisième livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle, et je n'hésite point à les regarder comme une des parties les plus profondes

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418 MÉGANIQUE CÉLESTE.

de cet admirable ouvrage ^ Newton n a point rattaché à son principe la plus grande des inégalités lunaires, Vévection, quil considérait avec Horox comme le résultat de deux inégalités, Tune dans l'excentricité de l'orbite, l'autre dans le mouvement de l'apogée. On voit cependant qu'il avait essayé de déterminer ces inégalités, ainsi que le moyen mouvement de l'apogée; mais ces essais ne l'ayant point satisfait, il s'abstint de les publier. En effet, la détermination de ce mouvement a présenté aux géomètres de grandes difiQcultés.

Newton a été plus heureux par rapport à la variation. Pour l'obtenir, il détermine d'abord les forces dont la lune est sollicitée par l'action du soleil dans son mouvement relatif autour de la terre. En faisant ensuite abstraction de l'excentricité et de l'indinaison de l'orbe lunaire, il cherche la variation de l'aire décrite par le rayon vecteur de la lune pendant l'élément de temps supposé constant : il obtient la loi de cette variation depuis la syzygie jusqu'à la quadrature. Les carrés des vitesses de la lune dans ces deux points sont, en négligeant le carré de la force perturbatrice, comme les carrés des aires instantanées, divisés respectivement par les carrés des rayons vecteurs. Les carrés des vitesses, divisés par les rayons de courbure, sont égaux aux forces centrifuges correspondantes. Aux deux points de la syzygie et de la quadrature, ces forces sont dirigées suivant les rayons vecteurs, et elles sont égales et contraires aux forces lunaires décomposées suivant la direction de ces rayons.

De là Newton déduit le rapport des rayons de courbure aux mêmes points, en fonction des rayons vecteurs correspondants. Pour avoir un second rapport, Newton considère l'orbite de la lune comme une ellipse mobile dont la terre occupe le centre,

* Ou voit, dans la correspoDdance de Newton avec Halley, que Newton, fatigué de set querelles avecHook, voulait supprimer ce troisième livre. Mais, heureusement pour les progrès de Tastronomie, cédant aux instances de Halley, il consentit k le publier.

et dont le périgée suit le soleil de manière que le petit axe de fdUipse correspond toujours à la syzygie, et le grand axe à la quadrature. Cette considération est exacte, mais elle exigeait une démonstration. Cest ainsi que Newton , dans sa théorie de la figure de la terre, a supposé sans démonstration, que les méridiens sont elliptiques. Ces hypothèses de calcul, fondées sur des aperçus vraisemblables, sont permises aux inventeurs, dans des recherches aussi difficiles; mais étant liées mathématiquement au principe que Ton veut établir, on peut toujours craindre, tant que cette liaison n'est pas démontrée, qu'elles ne soient contradictoires à ce principe. Newton détermine, par sa méthode des fluxions, les rayons de courbure de l'orbite de la lune, lorsque cet astre parvient aux extrémités des axes de l'ellipse mobile; ce qui lui donne un second rapport de ces rayons, en fonction des axes, et par conséquent des rayons vecteurs correspondants à la syzygie et à la quadrature. En égalant ce rapport au précédent, il obtient le rapport des deux axes de l'ellipse, qu'il trouve être cdui de 69 à 70. Ce rapport donne le rayon vecteur de l'ellipse dans un point quelconque; en divisant donc l'expression de la variation instantanée de l'aire, par le carré de ce rayon, on a la différentielle de la longitude vraie de la lune; et en intégrant, on obtient cette longitude, et par conséquent l'inégalité de la variation.

Le procédé de Newton, quoique moins direct, conduit au même résultat qui lui donne l'inégalité de la variation, égale à 35' lo"' sexagésimales dans son maximum; ce qui est à très-peu près confonne aux observations.

Cette méthode de Newton est fort ingénieuse, et Ton verra dans le chapitre suivant qu'en la traduisant en analyse, elle conduit facilement aux équations différentielles du mouvement lunaire.

Newton considère ensuite le mouvement du nœud ascendant

et la variation de l'inclinaison de l'orbite lunaire. Pour cela, il

décompose l'action perturbatrice du soleil sur la lune, en deux forces : Tune est dirigée vers le centre de la terre, et par conséquent, étant dans le plan de Torbite, elle ne dérange point la position de ce plan; l'autre force est parallèle à la ligne menée du soleil à la terre, et dérange le plan de l'orbite. Newton la compose avec le mouvement de la lune à la fin d'un instant, et, faisant passer un plan par la résultante et par le centre de la terre, il détermine la position de ce plan, qui devient celui de l'orbite lunaire dans l'instant suivant. Il trouve ainsi le mouvement horaire du nœud égal au produit d'un facteur à très-peu près constant, par le mouvement horaire de la lune, par le produit des sinus des deux angles qui expriment les distances du soleil au nœud, et du nœud à la lune, et par le cosinus de la distance de la lune au soleil. En changeant dans cette fonction le mouvement horaire de la lune, dans la différentielle de ce mouvement; en développant en cosinus simples le produit des sinus et des cosinus, et ensuite en intégrant, on a facilement l'expression du moyen mouvement du nœud et ses inégalités. Ce procédé n'était point audessus de l'analyse connue de Newton; mais il ne l'a point donné, soit qu'alors on ne fût point familiarisé avec les développements en sinus et cosinus simples, des produits de sinus et de cosinus, et avec l'intégration de leurs différentielles; soit que Newton, s'étant proposé d'exposer toutes ses théories sous une forme synthétique, ait cherché les moyens d'y parvenir par la synthèse; soit enfin qu'ayant trouvé ses résultats par l'analyse, il les ait traduits synthétiquement; ce qu'il paraît avoir fait dans plusieurs cas. La manière dont il a déterminé le mouvement moyen du nœud, et son inégalité principale, quoique compliquée, est exacte et ingénieuse. Newton observe que dans le cours de chaque mois le mouvement du nœud s'accélère et se ralentit de manière qu il a rétrogradé, à la fin du mois, d'une quantité dépendante seulement de sa distance au soleil. Il parvient ainsi à séparer dans