LIVRE SEIZIÈME

dans les inté^ales, on a une seconde valeur du rayon vecteur approchée aux quantités près de Tordre du cube de la force pertoriMitrice^ et ainsi de suite. Mais ce procédé introduit dans l'expression de ce rayon des arcs de cercle qui la rendraient bientôt inexacte. Pour obvier à cet inconvénient, Clairaut rapporte la partie dliptique du rayon vecteur à un apogée mobile. En substituant alors cette partie dans les intégrales, il n'a plus d'arcs de cercle; mais la valeur qu'il trouve pour le rayon vecteur contient un terme dliptique relatif à un apogée immobile. En déterminant convenablement les constantes introduites par le calcul, il fait disparaître ce terme; et en comparant la valeur du rayon vecteur qu'il trouve ainsi, avec celle qu'il a supposée, il obtient le mouvement de l'apogée. Une première approximation ne lui donna que la moitié du mouvement observé.

Newton était déjà parvenu à ce résultat singulier, dans la proposition 45 du premier livre des Principes; mais dans la théorie de la lune, qu'il a donnée dans le troisième livre, il n'a point rappelé ce résultat, qui pouvait paraître infirmer cette théorie, et qui en effet porta Clairaut à penser qu'elle devait être modifiée, en ajoutant à la loi de l'attraction un terme proportionnel à une puissance de la distance inverse, supérieure au carré, terme qui, insensible pour les planètes, ne deviendrait sensible qu'à des distances peu considérables, telles que la distance de la lune. Cette conclusion de Clairaut fut vivement attaquée par BufiPon, qui se fondait sur ce que les lois primordiales de la nature devant être de la plus grande simplicité, leur expression ne doit dépendre que d'un seul module, et par conséquent ne renfermer qu'un terme. Cette considération doit nous porter sans doute à ne com-pliquer la loi de l'attraction que dans un besoin extrême; mais rignorance où nous sommes de la nature de cette force ne nous permet pas de prononcer avec assurance sur la simplicité de son expression. Quoi qu'il en soit, le métaphysicien eut raison vis-à-vis

du géomètre, qui reconnut son erreur et fit la remarque importante, qu'en poussant plus loin l'approximation, la loi de iattraction newtonîenne donne à fort peu près le mouvement de Tapogée. Ce résultat, dont Clairaut fit part à l'Académie le 17 mai 17^9» dissipa tous les doutes sur la loi de l'attraction qu'Euler, trompé par une erreur de calcul, avait jugée contraire aux observations de Saturne dans sa première pièce sur les mouvements de cette planète et de Jupiter.

Clairaut réunit les divers résultats de sa théorie de la lune, dans une pièce qui remporta le prix proposé, en 1 760, par l'Académie des sciences de Pétersbourg. Cette pièce, imprimée d'abord en 1762 dans cette capitale, fut réimprimée à Paris en 1766, avec des additions et de nouvelles tables de la lune déjà fort rapprochées des observations, et qui faisaient naître l'espoir que l'on parviendrait un jour à déduire de la théorie seule des tables aussi parfaites qu'on puisse les désirer.

D'Alembert, dans sa théorie de la lune, choisit pour coordonnées le rayon vecteur lunaire projeté sur le plan de l'écliptique et le mouvement vrai de la lune rapporté à ce plan. Il donne l'équation différentielle du second ordre, du rayon vecteur projeté, dans laquelle l'élément de la longitude vraie est supposé constant et l'expression de l'élément du temps est fonction de cette longitude. Ces deux équations sont les mêmes que les deux premières des équations (L) du n** 1 du livre VIL Au lieu de la troisième de ces équations, qui détermine la latitude, d'Alembert emploie, comme Newton, les variations différentielles du mouvement du nœud et de l'inclinaison de l'orbite. Pour intégrer l'équation difiPé^ rentielle du rayon vecteur projeté, il ne rapporte point, comme Clairaut, la partie elliptique de l'expression de ce rayon à un apogée mobile, mais il fait disparaître, par un moyen ingénieux, l'arc de cercle qu'introduirait la supposition d'un apogée immobile; ce qui le conduit sans hypothèse à la considération d'un