LIVRE SEIZIEME
syzygies. En effet, le Carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure est dans les syzygies, par ce qui précède,
En l'égalant à la force centrale dans ces points, et qui, comme on Ta vu, est
on aura
On trouve, suivant le procédé de Newton, pour déterminer la courbure de Torbite dans les syzygies ,
l^=,—oo[^{l—my—l].
Pour déterminer k on doit observer que Newton a pris pour unité le rayon vecteur de l'orbite dans les octants. Or on trouve facilement qu alors, dans ces points, le rayon de courbure et le carré de la vitesse sont égaux à l'unité, et que la force centrale dirigée vers le centre de courbure est k — y m"; on a donc, par les théorèmes d'Huygens,
La première expression de -^ devient ainsi
-5-=i — |mM iH —].
En l'égalant à la seconde, on a, comme ci-dessus,
X= rr r.
Dans ce procédé, il faut déterminer k; ce que Ton évite en considérant à la fois les syzygies et les quadratures.
Pour conclure de ces résultats l'inégalité de la variation, Newton observe que dans une ellipse immobile où les aires tracées par le rayon vecteur partant du centre seraient . proportionnelles aux temps, la tangente du mouvement vrai compté de l'extrémité du grand axe serait à la tangente du mouvement moyen, comme le petit axe est au grand axe, ou comme i — x est à i-i-x. Ensuite, pour avoir égard à l'accroissement de l'aire depuis la quadrature jusqu'à la syzygie. Newton multiplie la tangente du mouvement vrai par le rapport de la racine carrée de l'aire instantanée dans la quadrature, à la racine carrée de l'aire instantanée dans
la syzygie; rapport qui, par ce qui précède, est i — . . — :. Ainsi la tangente du mouvement vrai est à très-peu près égale au produit de la tangente du mouvement moyen par i — ix — ,. . .
Dans les octants où le mouvement vrai est, en degrés sexagésimaux, égal à 45°, Newton trouve, en substituant pour x et pour m les valeurs qu'il a déterminées, le mouvement vrai de la lune égal à 44° 2 7' 2 8": en le soustrayant de 45% la différence 82' 82" est la valeur du coefficient de l'inégalité de la variation. Mais Newton observe qu'en vertu du mouvement apparent du soleil, le mouvement lunaire de la quadrature à la syzygie, au lieu d'être 90°, est agrandi dans le rapport de la durée du mois synodique à la durée du mois sidéral, ce qui revient à diviser 90° par 1 — m. Il en conclut que tous les angles autour de la terre , et par consé-
quent rinégaiité de la variation, doivent être augmentés dans le même rapport; ce qui porte cette inégalité à 35' lo*'.
Pour avoir l'expression analytique de Finégalité de la variation, (jui résulte du procédé de Newton, nommons Sv cette inégalité. Nous aurons
Uing.{v-hBv) = (^i — 2x— ^(^^'^)) tang.v,
V étant le moyen mouvement de la lune compté de la quadrature. Cela donne, en négligeant le carré de âv,
ces' ou
Sv I 3 m* \ sin.u
>s*.u \ 4(i— m)/ cos.u
5t; = — ^xix-^- T7 vl.sin.2t;.
Il faut, suivant Newton, substituer, dans cette expression, t; — mv au lieu de t; et la diviser par i — m; ce qui donne
( 20;-}- 7-7 : |. sm.(2t; — im\j\
<îv = -i ^('-7 / ..
Si Ton fait partir Tangle u — mt> de la syzygie, il faut l'augmenter de 90*; ce qui revient à changer le signe de sin.(2t; — 2 mu).
On peut obtenir cette expression plus simplement de la manière suivante. On a par ce qui précède
,1/ ^ X j r 3m".cos.(2u— 2/nt;)l
Substituant pour r sa valeur 1 — x. cos.2 (v — mv) , on aura dBv==dv 2a; -h 7-7 X .cos.(2t; — 2mv)
d'où l'on tire en intégrant
ôv= -^ ; — ^—7 — ^ sm.(2v — 2m V :
ici l'angle v — mv est compté de la syzygie.
Généralisons maintenant la méthode de Newton. Pour cela reprenons l'expression de Q du n° 1 du livre VIL Cette expression
donne - . (-j^) pour la force qui anime la lune, décomposée perpendiculairement au rayon r; et — i'T^) pour cette force décomposée suivant ce rayon et dirigée vers la terre. La force -• (-^) »
multipliée par l'instant dt, donne l'accroissement de vitesse pendant l'instant c/f, perpendiculairement au rayon: cet accroissement,
multiplié par dt et par - r, donne - ("j^) ^' pour l'accroissement de l'aire instantanée ^r^dv, dt étant supposé constant; on a donc
d,r*dv
dt
di
En multipliant les deux membres de cette équation par -77-, et
intégrant, on aura
{r.rfv).=/i.*[-f-^.J(§).r-<i«],
h étant une constante arbitraire; d'où l'on tire, en faisant - =u,
ce qui est la première des équations (L) du n"* 1 du livre VIL
