LIVRE SEIZIEME

Si Ton nomme ds Télément de la courbe décrite par la lune,

ds*

-1— sera le carré de sa vitesse : en substituant pour dt sa valeur

précédente, on aura pour ce carré

Soit R le rayon osculateur de Torbite ; les formules connues du rayon de courbure donnent, en supposant dv constant,

R '^^' u'ds' ainsi le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure est

Il faut, par les théorèmes d*Huygens, égaler cette expression à la force lunaire décomposée suivant le rayon de courbure et dirigée vers le centre de courbure. On a vu que la force lunaire se décompose en deux. Tune dirigée vers la terre et égale à

— ("j^)> l'autre perpendiculaire à r et égale à -(-j-^)- Si Ton décompose la force — ("T^) ^^ deux. Tune parallèle à Télément de la courbe, et Tautre dirigée vers le centre de courbure, on aura pour celle-ci — (x^) • "T"» ^^ " \T^) ' T"' Pareillement la force - (-r^)i décomposée suivant le rayon de courbure, sera

X"'("T^)- ^^ réunissant ces deux forces dirigées vers le

centre de courbure, on aura pour la force lunaire dirigée vers ce point

dv /dQ\ da /dQ\ ^'ll\da) uds\dv)'

en l'égalant au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure,

on aura

équation qui coïncide avec la seconde des équations (L) du n** 1 du livre VII, lorsqu'on néglige l'inclinaison de l'orbite lunaire.

3. Newton considère ensuite le mouvement des nœuds de l'orbe lunaire, et la variation de son inclinaison à l'écliptique. Après avoir décomposé l'action du soleil sur la lune en deux , l'une dirigée suivant le rayon de l'orbe lunaire, l'autre parallèle au rayon mené du soleil à la terre, il retranche de celle-ci l'action du soleil sur la terre, et il observe que leur difiFérence est la seule force qui puisse altérer la position du plan de l'orbite lunaire, comme n'étant pas dans ce plan. Pour déterminer la variation des nœuds qui en résulte , Newton fait passer un plan par l'élément de l'arc que la lune décrit dans un instant, et par le rayon lunaire de la dernière extrémité de cet élément. Ce plan sera celui de l'orbite pendant cet instant : dans l'instant suivant, la différence des forces dont nous venons de parler fera dévier la lune de ce plan. Si par l'extrémité du rayon lunaire on mène une petite droite pour représenter cette différence , en la composant avec la vitesse de la lune dans le premier instant , on aura la direction de cette vitesse dans le second instant, et, faisant passer un plan par le rayon lunaire et par cette direction, on aura le nouveau plan de l'orbite. Newton détermine ensuite la différence de position des nœuds de ces deux plans, et il trouve que le mouvement horaire du nœud ascendant est égal à

— 3m*v,. sin.(t; — N). sin.(mt> — N).cos.(y — mv) , N étant la longitude du nœud, et v, étant le mouvement horaire