LIVRE SEIZIEME

de la lune. En désignant donc par A, le mouvement horaire du nœud, oà a

Ni= — Sm'Vj. sin.(i; — N). sin.(mt; — iV). cos.(t; — mv).

Dans l'état actuel de l'analyse, on réduit le produit de ces sinus et cosinus en cosinus simples, ce qui donne

iVj = — ■Tm*.i;i.[i + cos.(2t;— 2mv) — cos.(2t;— 2iV)— cos.(2mt;— 'iiV)].

En changeant ensuite iV, et v^ en dN et dv, et désignant — jm^v

par iv, on aura à très-peu près, en intégrant,

J\ = — 7-m*v— -5-7 r.sm.(2t; — 2mt;)+ 07 m- sm.(2t; — 2iV)

+ ô7 r..sm.(2mt;— 2iV).

Ce procédé n'était point au-dessus de l'analyse connue de Newton, et s'il en eût fait usage, il aurait eu fort simplement l'inégalité annuelle du mouvement du nœud, que son petit diviseur rend très-sensible, et qui, par ce qui précède, est

3 m* . / -jyj.

■5-; TT. sm. 2 mv — 2^ .

8(iw— -ï) ^ ^

En substituant pour N sa valeur précédente dans l'expression de dN, on aura le terme non périodique

T m* av.

en sorte que le moyen mouvement du nœud sera

expression exacte aux quantités près de l'ordi^e m*.

Newton, au lieu de décomposer Texpression du mouvement horaire en cosinus simples, pour ne considérer que l'inégalité indépendante du mouvement de la lune, emploie un procédé qui revient au même. Il observe que, dans le cours de chaque mois, le mouvement du nœud s'accélère et retarde , et que de là résulte un mouvement horaire médiocre, qu'il trouve égal à

m' Vj . sin\ (mv — N) ,

ce qui donne

iV, = — jm^v.li — cos.(2mt; — ^iV)],

iVi étant ici le mouvement horaire médiocre. Cette expression de iVi revient à négliger dans la précédente les termes dont la période est d'environ un mois. Newton né^ige en effet les inégalités de ce genre, parce qu'elles disparaissent de l'expression de la latitude, en se combinant avec les inégalités semblables dfi l'inclinaison de l'orbite lunaire. En changeant iV» et v^ en dN ei dfv, on a

dN= m*d\j.sm\{mv — N).

Supposons

mv — N=(p, on aura

mdv=::d<p-hdN; on aura donc

dN= ' — 7-^ — ^-^ = ma0. sm*.0-f- ^ ^ .

i+T^'i-sm* 0 2 ^ ^ 2 . . , ^

T, f-sm*.0

3/it

En intégrant cette valeur de dN, depuis ^ nul jusqu'à ^ égal à la circonférence 2 tt, on aura le mouvement moyen du nœud dans l'intervalle de deux retours consécutifs du soleil au même nœud.