SUPPLÉMENT
DU
En publiant mon Traité de Mécanique céleste, j'ai désiré que ies géomètres en vérifiassent les résultats, et spécialement ceux qui me sont propres. Les résultats de la théorie du système du monde sont, pour la plupart, si distants des premiers principes, que leur vérification est nécessaire pour en assurer Texactitude. Les géomètres qui s'en occupent font donc une chose utile à l'astronomie, et je dois, comme savant et comme auteur, beaucoup de reconnaissance à ceux qui ont bien voulu prendre mon ouvrage pour texte de leurs discussions, et qui par là m'ont fourni l'occasion d'éclaircir quelques points délicats traités dans cet ouvrage. Ce sont ces éclaircissements et quelques recherches nouvelles qui sont l'objet de ce Supplément.
' Ce Supplément est posthume , et la copie originale sur laquelle il a été imprimé, en 1827, n*a pu être mise sous nos yeux : toutefois, comme il n*est, à quelques lignes près, qui lui servent de préambule, que la reproduction de deux articles publiés par Tauteur lui-même, en 18a 5 et 1827, dans la Connaissance des temps pour les années 1827 et i83o, nous nous sommes crus suffisamment autorisés à Tinsérer dans la présente édition. ( Note des Commissaires chargés de diriger la réimpression des (JEuvres de Laplace. '
Sur le développement en série du radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes.
1. En considérant cet objet dans les n*"' 3 du livre XI et du livre XV de la Mécanique céleste, je me suis spécialement proposé de faire voir, par un exemple intéressant, l'utilité des méthodes que j'ai exposées avec étendue dans ma Théorie analytique des probabilités; l'une, pour obtenir en intégrales définies les variables données par des équations linéaires aux différences finies à coefficients variables; l'autre, pour avoir, par des approximations rapides et convergentes, les intégrales définies, fonctions de trèsgrands nombres. C'est surtout dans le développement des fonctions en séries que ces méthodes sont utiles pour avoir les limites des termes de ces développements, et pour reconnaître si les séries qui en résultent sont convergentes. Je nomme limites les valeurs dont les termes du développement approchent sans cesse à mesure que leur rang est plus considérable, et qui coïncident avec elles dans l'infini.
Si l'on nomme r et r les distances mutuelles de deux corps qui s'attirent, à un même point fixe, et 0 l'angle compris entre ces distances, la distance mutuelle de ces deux corps sera \/r* — 2 rr. cos. 0-fV*. On sait combien le développement du radical
V/r*— 2 rr'. COS. e+r*
est important dans les théories de la figure et des perturbations
des planètes.
*« Or, supposant r':>r, et faisant y =a, on peut développer le
radical (i — 2 a. cos.0H-a*) • , soit par rapport aux puissances de
SUPPLÉMENT AU CINOl'IÉME VOLUME- 501
a, soit par rapport aux cosinus de Tangle B et de ses nuiltiple$« Le premier de ces développements est nécessaire dans la tliéorîe de la figure des planètes; et le second, dans la théorie des perturbations. Dans le n*" 3 du livre XI cité^ j'ai exprimé par une intégrale définie le terme général du premier développement^ et j*ai donné une limite de cette expression, qui devient de plus en plus compliquée, à mesure que le nombit^ des termes augmente. Dans le n* 3 du livre XV, j'ai cherché à exprimer pareillement par une intégrale définie le terme général du second développement.
Si Ton désigne par a'p^' , le terme général du radical
(i — 2 a. COS. 0+ a*) * développé suivant les puissances de a» on a, par le n"* 23 du troisième livre de la Mécanique céleste.
pW= — , — .jcos'.O .cos'^'.Qh - . cos' '.0-etcJ: (i)
lorsque i est un grand nombre, cette expression contient un grand nombre de termes; mais j'ai prouvé, dans le numéro cité du livre XI, qu alors elle se réduit, à très-peu près, à
cos.[(f+-l).(9^i^]^
TT étant la demi-circonférence dont le rayon est Tunité. Je vais ici confirmer ce résultat singulier par une autre méthode.
On a, par les n^' 8 et 9 du troisième livre de la Mécanique céleste,
o=e.i+i.p<')-+-^-h^.^^. (u) Exprimons l'intégrale de celte équation par
p^^^ = u . COS. aO-h VL. sîn. ad,
tt et tt' étant fonctions de 0, et a étant supposé égal à (/.i-hi)*^. En substituant cette valeur dans l'équation (2), et comparant séparément les coefficients de sin.a0 et de cos.ad, on aura
du COS.0
dO sm. 6
dda'
de'
du' ■^ dO'
COS
ddu
de'
du
de
.cos
du' , cos.ô
dO sm. 9 a
Ces équations donnent, en négligeant les termes divisés par a, et
en les intégrant,
u=^H. sm. *6, u=H'.sin. *d;
H et H' étant deux constantes arbitraires. Si Ton fait
u=H.smr^e-^ -; « -=H'.sin.'"^0-f- — ; a a
les équations différentielles précédentes donneront les valeurs de X et de X'. En continuant ainsi, on aura les valeurs de u et de n , et par conséquent celle de p^'\ développées suivant les puissances de -. Nous ne considérerons ici que les termes indépendants de -, et alors on aura a
p^'=:C. sin. * ô.cos. (aô-He)i C et e étant deux constantes arbitraires qu il faut déterminer. Pour cela, je suppose ô= -: j'observe ensuite que si Ton néglige les termes de l'ordre -r, on a a=ï-h 1; on a donc alors
p«=C.cos.{{i-4-i).fH-e|.
On voit par Téquation (i) que i étant impair, et 0 étant -. la
valeur de p^^ est nulle; on a donc e= — \n, et par conséquent on a, quel que soit 0,
p«z=C.sinr^0.cos.{(i-4-|)0— |ir|-
Pour déterminer la constante C, j'observe que si Ton suppose i pair et égal à 25, Téquation (1) donne, lorsque 0= 7,
^ ~^ 2.4.... 25 2".(l.2.3.....vV'
le signe supérieur ayant lieu si s est pair, et Tinlérieur si a- est impair. On a, à très-peu près, par les formules connues, ioi^que 5 est un grand nombre,
On aura ainsi ce qui donne
L'expression générale de -p^^ est donc
\ .cos.}(/-+-l)g-- |7r|.
Sur le développement des coordonnées elliptiques.
2. L'excentricité des orbes elliptiques planétaires étant peu considérable, on développe le plus souvent le rayon vecteur et l'anomalie vraie en séries ordonnées suivant ses puissances. Mais si l'excentricité qui, dans les orbes elliptiques, ne surpasse jamais l'unité, en devenait fort approchante, on conçoit que les séries pourraient cesser d'être convergentes. Il importe donc de connaître si, parmi les valeurs comprises entre zéro et l'unité, que l'excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes, et, dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité le demi-grand axe de l'ellipse : désignons par e son excentricité, par t l'anomalie moyenne comptée du périgée, et par R le rayon vecteur, on aura, par le n"" îiîi du second livre de la Mécanique céleste.
jR = 1 H e. COS. t
. COS. 2t
,. (3. COS. 3f— 3. COS. t)
-. (4'.C0S. 4f— 4.2'. COS. It)
TT-, — :.( 5'. COS. 5f— 5. 3*. cos.3fH — ^cos. n
Q-T-E— r*(6*.cos.6f— 6.4'.cos.4f+-^.2'.cos.2n
— etc.
Le terme général de cette expression est
