TOME V. AA

:^^^.(/-2r)' '=(i--2rf-ay-'.

Cette équation donne la valeur de r, et par conséquent le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si Ton prend les logarithmes des deux membres, on a

iog.(i:^)=(.-.).iog.(.+ r^y

OU

log.(V)H-log.(i-H ji-^) = (i-a).log.(i-H j^y (6) or on a, lorsque i et r sont de très-grands nombres,

log.f n- -A-) = T^ p— û -^ ®tc-

^ \ '-^v '—'' 2.(1— ry

Téquation (6) deviendra donc, en négligeant les termes de Tordre -r ,

ce qui donne

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. En faisant r=:coi, on aura

Cl)

Si Ton nomme p le terme maximum

SUPPLEMENT AL CINQLIEME YOLIML 507

le terme qui en est éloigne du rang t sera

Son logarithme sera donc

log.p-Uog.(i-,^-log.( ,- J-)log.(l- j^^)...^log.( 1 - •^)

-f.log.r-log.[l- i^-log.(l- iy..-log.|i^ L)

-(.-.).log.(i-^^).

En développant en séries ces logarithmes^ et négligeant les termes^ de Tordre t; , on aura

Par la nature de r, on a à très-peu près, par ce qui précède, la fonction précédente deviendra donc

En ne conservant ainsi parmi les termes de Tordre -r que ceux qui sont multipliés par t\ et observant que

tk.

cette fonction prendra la forme

log.p —

2r. I— r.(i--2r)* ce qui donne pour le terme placé à la distance t du terme p,

^ iu^

p.C ^r.T:rr,[i-^r)\

Il est facile de s'assurer que cette même valeur a lieu à très-peu près pour le terme placé avant p à la même distance. La somme de tous ces termes sera la série entière (a ). On aura, comme on sait, cette somme à très-peu près égale à

p.Cdt.C ^r.i-r.(i^2ry ^

l'intégrale étant prise depuis f= — oo, jusqu'à t=oo; ce qui donne, parles méthodes connues, la série (a) égale à

TT étant la circonférence dont le diamètre est l'unité. On a

i.2.3...î.(i—2rV-'

La série [a) devient ainsi, abstraction faite du signe,

i.(i--2)'~'.y^ i— 2r 4 irA — r e*

-2r 4 Ar.i I ^ i

On a, à très-peu près, par les théorèmes connus,