r=r .c .y/2'ir
SUPPLEMENT Al" CINQl lEME VOLIME. 3«»
La série i devient donc
OO
^ étant donne par fequation c .
On doit obsener ici que la valeur de ^ donnée par cette e%}uation nest pas rigoureuse. Nous avons néglige, pour former cette
équation, les quantités de Tordre -r; et de plus nous avons supposé que le terme maximum p était ^i[al à celui qui le precètle; ce qui n est qu^approché. De là il suit que la valeur exacte de ts^ est celle que donne Fequation [c], plus une correction de IWlre
4, que nous désignerons par -• Mais cette correction disparait
d'elle-même par la condition de p maximum. En elTet^ si Ton nomme D la fonction
et U cette même fonction, lorsqu'on y change » dans w - ^; on aura
log.iX.=Uog.[(.+ î.^-, ,Ç..^. . ..c.)./>].
En repassant des logarithmes aux nombres, et négligeant ensuite les quantités de Tordre - , on aura
On a
dD 2 , 1 — û)
log.
D.ddj 1—2 cj
et l'équation (c) donne log. = — — ; on a donc, aux quantités près de Tordre -, D''=D', d'où il est facile de conclure que, par le changement de w dans « -t- ^, la formule [d) reste la même. Si la quantité
ec.(i — 'iûij)
surpasse Tunité, la fonction [d) devient infinie, lorsque i est infini; l'expression du rayon vecteur devient donc alors divergente. La valeur de l'excentricité, déduite de l'équation
2ûl .(l— -Cl))
^— (,2fi.).C '
est par conséquent la limite des valeurs de l'excentricité, qui font converger l'expression du rayon vecteur développé suivant les
puissances de l'excentricité. En substituant au lieu de c sa valeur ( — ^ j ^ donnée par l'équation (c) , cette expression de e devient
^ 2 ViI(IE3.
L'équation (c) donne à peu près
w=o,o83o7; d'où l'on tire
L'équation précédente de la limite de Texcentricité e donne à cette limite
d*où il est facile de conclure
)-ûi (i+\/i+g»)\
OJ
Téquation (c) donnera donc
i+yi+^=e.c . (m)
Les valeurs de e supérieures à celle que cette équation donne rendent Texpression en série du rayon vecteur R, divergente lorsque t est un angle droit. Pour toutes les valeurs inférieures, cette série est convergente, quel que soit t. En effet, le terme général de Texpression de R développé en série ordonnée par rapport aux puissances de Texcentricité est, comme on Ta vu,
[i'-*. COS. I f— e . (i — 2)'~*. cos.(i — 2) . f -h- etc.].
La plus grande valeur de ce terme, abstraction faite du signe, ne peut surpasser
£l rr-^i.(/2)-«+!:l=lî-.(i--4)-«H-etc.l.
On vient de voir que cette valeur, lorsque i est infini, devient nulle par un facteur moindre que Tunité , élevé à la puissance i, lorsque l'excentricité e est au-dessous de celle qui résulte de Téquation aux limites; la série est donc convergente, quel que soit t. Je vais maintenant établir qu'alors la série de l'expression de
Tanomalie vraie développée de la même manière est pareillement convergente.
3. L'anomalie excentrique étant a, et t; Tanomalie vraie, on a, par le n° 20 du second livre de la Mécanique céleste,
t=u — &sin. u, jR=i — ecos.u; ce qui donne
da 1
or on a, par la loi des aires proportionnelles aux temps,
on a donc
dv (duV . X
L'expression en série de u^ du n"" 22 du livre cité, donne
du, 6* £^
-7-=i+^.cos./H .2*.cos.2fH 5 — :.f3\cos.3f— 3.cos./)-hetc.
ai 1.2.'J 1.2.3.2* ^ ^
Le terme général de cette série est
H- .(i— 4)*. COS. (i — 4)< — etc. ,
et dans aucun cas il ne peut surpasser
-iL-^Ff'-f./ (/-2)'-f-^-.(e--4)'-l-elc.l.
En suivant exactement lanalyse de l'article précédent, on trouve ce dernier terme égal à
(û étant donné par l'équation (c) de l'article précédent. Maintenant, si Ton désigne par A la série
la série étant continuée jusqu'à i= i; il est facile de voir que l'expression en série, de -j-, sera moindre que le développement en série de la fonction
SjiitS^x—qe) en désignant par ^ la quantité
Car il est visible que le coefficient d'une puissance quelconque e* dans le développement de la fonction (o) est positif, et qu'il est plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la
même puissance, dans le développement de ^. L'expression de ^, ou de[-y^) .\/i — c\ est donc moindre que
or, le développement de \/i— e* est moindre que celui de ——^ ;
