TOME

le développement de -j- est donc moindre que celui de

L \/2ir.ii-(ie) J

c'est-à-dire que le coefficient d'une puissance quelconque de e* dans le développement de cette fonction est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de -rr.

Donnons à la fonction (p) cette forme

H pzi "1" ————— .

1— c* \27r.{i—qe).{\—e*) w.(i— 9e)*.(i— e*)

Le terme -^ — -, développé en série donne une série convergente.

Car, quelque grand que l'on suppose i, pourvu qu'il soit fini, A* sera composé d'un nombre fini de termes. En désignant par me*'

l'un de ces termes, — - développé en série donnera une série

convergente, e étant supposé moindre que l'unité. Ainsi — —

donnera un nombre fini de séries convergentes, et dans leur somme le terme dépendant de e* deviendra nul lorsque s est infini.

Le terme

donnera un nombre fini de termes de la forme

ne'

or la fraction

se décompose dans les trois suivantes

Il 11 a* 1 ^

Chacune d'elles, développée en série, donne une série convergente; car, par la supposition, (je est moindre que l'unité. On voit donc que le terme

V^.(i-7e).(i-eV

donne une série convergente. Pareillement le terme

donne une série convergente, comme il est facile de le voir en décomposant la fraction

en fractions partielles; -r- développé en série ordonnée par rapport aux puissances de l'excentricité donne par conséquent une série convergente, lorsque (je est moindre que l'unité. Il est facile d'en conclure que l'expression de v — t ainsi développée forme une série convergente; car l'intégration de dv faisant acquérir des diviseurs à ses termes, on voit que, quel que soit f, r — t sera moindre que

qui, comme on vient de le voir, forme une série convergente. 11 résulte de ce qui précède, que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l'anomalie vraie, développés suivant les puissances de l'excentricité, est que l'excentricité soit moindre que

tû étant donné par l'équation

Les deux séries sont alors convergentes; c'est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de l'excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d'autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.

4. On développe encore les expressions de l'anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus multiples de l'anomalie moyenne. Soit alors

v=^t-\-é'K sin. t -h a^*^ sin. 2f. . . -+- a^'\ sin. û -4- etc.

é^\ a^*\ etc. étant des fonctions de l'excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet , on a

f[v'~i).dt. sin. if = TT . q}"^ ,

l'intégrale étant prise depuis t nul, jusqu'à t égale 2ir. Or, on a dans ces limites, en intégrant par parties,

fdt. [v — i]' sin. it = - .fdt ( ^r - 1 ) • ^os. û = — - .fdu sin. it

ddv dp '

on aura donc

. . ddv

Téquation

donne

a"' = — TT- . fat. sin. it. -j—

dv \li-e'

dF~~ R'

ddv 2.\/i — e' dR

'W~~ R' ' dt

Au périhélie et à l'aphélie, -rr est nul : ^^ , est positif, en allant

du premier de ces points au second; et négatif, du second au premier. Soit k sa plus grande valeur positive; —A: sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de sin. it soient positives et égales à l'unité, depuis le périhélie jusqu'à l'aphélie, et négatives et égales à — i , depuis l'aphélie jus-

qu'au périhélie; on voit que l'intégrale fdt sin. it. ^^ prise depuis

le périhélie jusqu'à l'aphélie, sera moindre, abstraction faite du signe, que 2 A: tt. De là il suit que a^\ abstraction faite du signe, est moindre que

ce terme devient nul , lorsque i est infini. De plus , la série de l'expression précédente de t;, à partir de i supposé très-grand, est moindre que

liir.k.^ i—e* ^

quantité qui devient nulle , lorsque i est infini. Cette série est donc convergente.

Considérons de la même manière Texpression de R développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de t et de ses multiples. Soit

R=zb^'^ -f- b^'K COS. f... -h b^'K COS. it -t- etc. on aura

Tî.b^^^= fRdt.cos.it,

l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t égal à 2 7r; ce qui donne

ni) > i*j^ 'a ddR

TT . fc^'î = -j; .fdt. COS. It. -j^ .

Les formules du mouvement elliptique donnent

ddR i-e'-^R

dl* ~ R' '

Cette dernière quantité est toujours négative. Désignons par — k son maximum, et supposons cos.iï égal à l'unité; on aura, abstrac-

tion faite du signe, itb^'^ moindre que —77-; d'où il suit que la

série de l'expression de R est convergente.

On peut, en suivant la méthode exposée dans le numéro précédent, déterminer la valeur approchée de b^'\ lorsque i est un grand nombre. Pour cela j'observe que l'expression de R développée en série par rapport aux puissances de l'excentricité, et que nous avons rapportée dans l'article 2 , donne

ij"« (^y+etcl.

Le terme général de cette expression est

Si Ton observe que, r étant un très-grand nombre, on a à fort peu près

1.2.3... r.i. 2. 3... i + r=r^^î.(«+r)'^^^T.(r-'-^27r; on peut donner à ce terme la forme

e\c'.i'-\{i+2r) / eU\c*\\ 2'.w.(i+r)'.\/r.i+r \4r.i+r/

quantité qui devient nulle, lorsque r est infini. La série de l'expression de 6^*^ est donc convergente.

Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série

1+2 /eiV 1+4 /««\* . / \

dont le terme général est

On aura, par la méthode exposée dans Tarticle 2, la somme de cette série fort approchée , lorsque i est un très-grand nombre. Nommons p le terme précédent, et supposons qu'il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rang qu'il y occupe, on régalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède; ce qui donne

d'où Ton tire à fort peu près

i.sJx+e'—i r= — .

Le terme qui suit p, d'un rang supérieur de f , est

En appliquant ici l'analyse de l'article 2, il est facile de voir que le logarithme de ce terme est à très-peu près,