LIVRE ONZIÈME

Dans le cas de X=i, cette fonction se réduit à Tunité, comme cela doit être; car P^'^ devient alors le coefficient de af dans le

développement de . Mais, pour peu que X soit moindre que

l'unité, la fonction précédente, et par conséquent P^'\ devient moindre que l'unité, comme il est facile de le prouver.

L'intégrale (/) prise depuis t«T = o jusqu'à t«T=7r, est égale

à cette même intégrale prise depuis t«T = o jusqu'à t«T=: -, plus à l'intégrale

prise depuis 'Ct'^zo jusqu'à t«T'= -, comme on le voit en changeant t«T en TT — tsr' dans l'intégrale (/), lorsque tsr surpasse -.

Soit donc /= y, ce qui donne X = sin.y'; la fonction [f]

devient

1 /\ r (y/— i.sin. y'+cos. y'. cos.«r)n /pv

\J~i\j L-4-(V~^-sija-y'~cos./.cos.isr)U

Tt . (y/— i)* J L-f- (V""^ • s^^- y'— COS. y. cos.«r)*. l'intégrale étant prise depuis tsr nul jusqu'à t«T= -. On peut don-

ner à cette fonction la forme suivante

1 /*, l (ces. iy+y^. sin. iy'). [ i —2 .(ces. y'—V^— i . sin. y'). ces./, sin'.jtar]*

, (y/^)' •/ (+(— iy.(cos.iV — V^.sin.ïy').[i— 3.(cos. y'+\A-T.si

On a

fd^. [ 1 — 2 . (cos. y — \J— 1 . sin. y) . cos. y. sin*. y « ]* i. log. [i— 2 . (cos. y — yCT. sin. y'), cos. y. sin*. Y«r]

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.