TOME r

En changeant e* dans — e*, dans cette expression, on aura la valeur fort approchée de la série

, i±i,.(iiy, —AlL =J4l= + etc.

Ces passages du positif au négatif, comme du réel à Timaginaire, ne doivent être employés qu'avec une grande circonspection. Mais ici e* étant indéterminé , on peut les employer sans crainte. J'en ai reconnu d'ailleurs l'exactitude, par une autre analyse. On a ainsi

Lorsque i est infini, cette valeur de b^'^ reste toujours infiniment petite, quel que soit e, pourvu qu'il n'excède pas l'unité.

Sur le flux et reflux limaire atmosphérique.

5. J'ai donné à la fin du livre XIII de mon Traité de mécanique céleste, la théorie du flux et reflux lunaire atmosphérique. J'ai conclu les éléments de ce phénomène, d'une longue suites d'observations du baromètre, faites à l'Observatoire royal pendant sept années consécutives, chaque jour, à neuf heures du matin, à midi; et le soir, à trois heures et à neuf heures. L'ensemble de ces observations réduites par M. Bouvard à zéro de température , a donné cinquante -cinq millièmes de millimètre pour l'étendue entière du flux lunaire, depuis son maximam jusqu'à son minimum, et trois heures dix-neuf minutes sexagésimales pour l'heure de son maximum du soir, lej jour delà syzygie. Mais j'ai reconnu, par le calcul des probabilités, que cette heure et l'existence même du

phénomène sensible à Paris n ont qu'un fieiible degré de proba* bilité. Le système dobsenations suivi à TObservatoire royal, déjà adopté dans quelques autres observatoires, et que Ton doit désirer de voir répandu généralement, est dû à M. Ramond, qui Ta employé dans les nombreuses observations qu'il a faites à Clermont, chef-lieu du département du Puy-de-Dôme, Il fa exposé, ainsi que les résultats qu il en a déduits sur la variation diurne du baromètre, dans plusieurs mémoires lus à l'Institut , et qui peuvent être regardés comme une des choses les plus intéressantes que Ton ait faites en météorologie. M. Bouvard a confirmé ces résultats dans des recherches qu'il vient de perfectionner, en ajoutant quatre années d observations à celles de sept années qu il avait considérées, et en discutant, avec une attention scrupuleuse, les observations de ces onze années, dans la réduction desquelles il a eu égard à la dilatation de 1 échelle du baromètre.

Ce travail immense ma fait reprendre ma théorie du flux lunaire atmosphérique. JTai déterminé, avec un soin spécial, les facteurs par lesquels on doit multiplier les diverses équations de condition, pour obtenir les résultats les plus avantageux, dans lesquels Terreur moyenne à craindre en plus ou en moins est un minimum. Ces facteurs ne sont point ceux que donne le procédé connu sous le nom de méthode des moindres carrés, procédé qui n'est qu'un cas particulier de la méthode la plus avantageuse, et dont il diffère dans la plupart des questions où il a été employé. En effet, lorsqu'il s'agit, par exemple, de corriger les éléments elliptiques du mouvement des planètes, on forme des équations de condition, en égalant chaque longitude obsen^ée à la longitude calculée par ces éléments augmentés chacun de sa correction ; on forme ainsi un grand nombre d'équations de condition. Ensuite on multiplie chacune d'elles par le coefficient de la première correction, et l'on ajoute toutes ces équations ainsi multipliées, ce qui donne une première équation finale. En opérant de la même manière

relativement à la seconde correction, à la troisième, etc. on forme autant d'équations finales qu'il y a de corrections que l'on détermine en résolvant ces équations. Mais la longitude n'est point le résultat d'une observation directe; elle est déduite de deux observations faites avec des instruments différents, dont l'un donne l'ascension droite de l'astre, et dont l'autre donne sa déclinaison. La loi de probabilité des erreurs de chacun de ces instruments peut n'être pas la même : de plus ces erreurs ont, suivant la position de l'astre, une influence différente sur la longitude. La méthode des moindres carrés, dont plusieurs géomètres ont donné des preuves très-peu satisfaisantes, ne donne point ici les facteurs les plus avantageux; elle n'a plus que l'avantage d'offrir un moyen régulier de former les équations finales. J'ai présenté, dans le troisième Supplément à ma Théorie analytique des probabilités, l'expression générale des facteurs les plus avantageux.

M. Bouvard ayant appliqué mes formules à toutes les observations qu'il a considérées, en a conclu que l'étendue entière du flux lunaire est de dix-huit millièmes de millimètre, et que l'heure du plein flux lunaire, le soir du jour de la syzygie, est deux heures huit minutes. Ces nouveaux résultats sont différents des premiers ; mais, quoiqu'ils soient fondés sur 298 syzygies et autant de quadratures, dans chacune desquelles on a considéré le second et le premier jour avant la phase, le jour même de la phase et les deux jours suivants, ils n'ont cependant qu'un faible degré de probabilité; en sorte que l'on doit jusqu'ici regarder comme incertaine, l'existence, sensible à Paris, du flux lunaire atmosphérique. Le même nombre d'observations faites avec le même soin à l'équateur, et discuté de la même manière, indiquerait ce phénomène "" avec une grande probabilité. Il est vraisemblable que de pareilles observations faites dans un port où les marées sont très-grandes, tel que celui de Saint-Malo, manifesteraient le flux atmosphérique produit par l'élévation et par la dépression de l'atmosphère.

SrFPLEMEXT AC ONQl lEME VOllVr S»

banHDtftir . de aevf heures d« Huitùn a tiv^ Wirns^ lim $v^. m Mnà pas Li même «Uns toatiK^ ie$ subofis: M. K^^vUNI â wtfjfccîiijif <^ resiiitaL li a tioa\^ i* k vjuriitkw moyimtte dn»^ tivib iMMr«^ <^ w^ vembre. dlecemlMre et jaiQ^îer, ecjie a o*"\i.^7; i* oroe Ai?^ twà^ mob suivants e«aie a c'^ .oio: 3^ ofiie di»^ tivib ihiiW^ làe HMÀx join et jaiiiet. esrale à o"^ .y^:;: i' «lie Ar^ tivib Mitn^ iHiOiibs égale a o^^*,vo3: ce qui donne c^*^ .^65 piHU^Uvjiriàtk>tt WK^x^fti^M^ de Tannée entière. Ces difleiwices depemktit-^îiWîJ^ \Vf^ ai^\mj^Wt$^ du hasard, ou indiquent-elles des causes re^Kews c C^?^ \V <|^w^ le calcul des probabilités peut 5eul iain^ coniMitre. U et^il ^K>iK intéressant de Fappliquer à cet objet. Xaî tnntxe qu'ail \ a uwr très-grande probabilité que des causes r^ilièn^s oi^t |WvHluil W^ minimum o"^ .ôôy de la variation^ et s^xu M«u^«itM o** ' x\^4v^; uvAi;^ que les différences entre les variations 0"^*^^ -^^^ o*^\^oï et U moyenne o*^ ,76:1 de Tannée, peuvent sans imrais^'UibUcioc <^tw attribuées aux anomalies du hasani.

Les iStï mois d'observations que M. Bomanl a discut^w^ |Hmr avoir la variation diurne du baromètre pn^seutent ct^ pheiuwuW remarquable, savoir, que la variation moyenne île neuf lieui>?^ du matin à trois heures du soir a été positive |HHtr chacun de ct^ mois. Je trouve par le calcul des probabilités que ct^ |\liénmuèue^ loin d'être extraordinaire, est (i priori vraistnnblabhv

6. Je nomme X, Theure sexagésimale du flux et rt^lhiv binaire atmosphérique du soir, le jour de la svavgie supjHV^H^ amver à midi; cette heure étant convertie en are, à raist>n tie la cîitH^nftvrence pour un jour. Je nomme R la liauteur thi l>aix>métre audessus de sa hauteur moyenne, au moment du Hux, pixxluite |vir Faction de la lune sur i'atmosplière. Je fais

4/î.sîn.X^=x; 4/î.cos.Xr y.

Soient i,, 4',-, A\, les hauteurs observées du baromètre, à neuf heures sexagésimales du matin, à midi et à trois heures du soir, le jour i^, à partir de la syzygie, i étant nul pour le jour de la syzygie, positif pour les jours qui le suivent, et négatif pour les jours qui le précèdent. Soient pareillement J5,, JB',-, J5^;, les hauteurs observées du baromètre, à neuf heures du matin, midi et trois heures du soir, le jour i'"^ à partir de la quadrature. Je suis parvenu, dans le chapitre vu du livre XIII de la Mécanique céleste, aux deux équations suivantes.

x.cos.2iq-hy'Sin.2i(]=EA y.cos.2i(i — a;.sin. 2i^=F, j'

dans lesquelles q est le moyen mouvement synodique de la lune dans un jour; et Ton a

E.= i".4'.HB,- B-,

les équations (0) donnent

x=^Ei.cos.2iq — F,.sin.2i^: (a)

on peut former autant d*équations semblables qu'il y a de syzygies, et que i a de valeurs. En nommant donc n le nombre de syzygies, n étant un grand nombre; en nommant s le nombre des valeurs de i, on aura ns valeurs de x, d'où il faut conclure la valeur la plus avantageuse, c'est-à-dire celle dans laquelle l'erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, est la plus petite.

On doit pour cela multiplier chacune des ns équations que représente l'équation (u) par un facteur convenable. J'ai fait voir (troisième Supplément à ma Théorie analytique des probabilités).

que si Foq a entre les éléments x, n c« etc. un grand ncMnhro dfeqpalîons de condition repivsentees pur la suivante «

f'.x — p'.r — if*^z — etc, =a' —m^.y — a" .X' — r^. î^— etc. [i]

le facteur le jAus avantageux par lequel celte équation doit ^tre multipliée est

-.«'•— -^.n''— ^.r'*--etc, k k k

t, k\ k, k', etc. dépendant des lois de probabilité des eritnii^ )', A\ etc. de la manière suivante. Si ^ (7 *^ est la loi de pft>habilité de Ferreur ^ ' , cette loi étant supposée la mt^me jxnir Iw erreurs positives et pour les erreurs négatives, on a

les intégrales étant prises depuis zéro jusquW Tinfini; jiareîllement si >J^(X' ; est la loi de probabilité des erreurs X\ on a

et ainsi du reste. Dans la question présente. )^*\ X\ etc. sont les erreurs des observations désignées par les lettres .4/'\ .1/'* ^^\^^ Bi'y etc. observations qui se rapportent au i'** jour depuis la c^*'^ syzygie. La loi des erreurs des observations étant sup|HV^éf^ la même pour toutes ces observations, on aura

k=k=^Tî, etc.; it''-~^\ etc*; le facteur précédent deviendra donc

y .{mW«-hwW«^.rW«-f- etc.)

En désignant par y/'^ X/'^ 5/'^ y,^^ x,w, 5/'^ les erreurs des observations Ai^'K AV'\ ^?\ Bi^'\ B?\ F.«; et par m^, n^, H'^ relativement aux trois dernières de ces observations, ce que représentent m^*\ n^'\ r^'\ relativement aux trois premières; on aura

^'^=r — cos.2iqH-| IH j. sin.219,

(1-+- — l.sii \ 19/

.219 -+- 1 iH j.sin.^i^.

n^'^= — 2 I iH l.sm.ai^^

H'î= cos

le facteur précédent devient ainsi,

-T-. {i-f-2,324.sin\2iqf j

En réunissant toutes les valeurs de x, multipliées par ce facteur, on aura

cos. 21 q. sm. 21 q.

1+2,3 2 4. sin*. 2 19 1+2,32 4* sin*. 219 '

J5/'^ et F/'^ étant les valeurs de Ei et de F, relatives à la s^^ syzygie et à la 5"^™* quadrature à laquelle on la compare. Le signe S indiquant la somme des quantités qu il précède, pour toutes les

syzygies dont le nombre est n, -^ — - et -i— ^ seront donc les

moyennes des valeurs de F/'^ et F/'\ moyennes que l'on obtiendra en substituant dans les expressions de F. et de F,, au lieu de Ai, A'i, A\, Bi, etc. leurs valeurs moyennes. L'équation précédente deviendra ainsi,

X ^ F,«cos.2i9f"-Fi.sin.2i7 ^

1+2,324. sm*.2i9 "^ i+2,32 4.sin*.2i9 '

cette éqnation produit autant d^éqnations que i a de vaJears^ Si Ton réunit ces équations, on aura

i+3,33a.sin'.2i9 \ i-^3,334-sin\9i9 /

le signe 2 exprimant la somme des valeurs du terme cju^il précède; on aura ainsi pour la valeur de x la plus avantageuse «

\ i+q,3qâ.sui'.3I9 /

Les équations (O) donnent

y=Fi.cos.2iq — £^.sin.3i^;

on aura donc la valeur de j la plus avantageuse, en changeant dans l'expression précédente de x, cos.2iq dans sin.ai^. et sin.ii^ dans — COS. 2 19; ce qui donne

-, /f,-.sin.2iç— F.-.cos-aîçX

\ I-r2,324.COS*.2i9 /

M. Bouvard a conclu de ces formules

et retendue entière 2R dn flux lunaire atmosphérique* égale à 0,01763.

8. Je vais présentement déterminer la loi de probabilité des erreurs de ces deux valeurs de x et de j. Il résulte des formules que j*ai données dans ma Théorie analytique des probabilités « que si y^X, h, etc. sont des erreurs indépendantes, mais assu-

jetties à la même loi de probabilité, la probabilité que Terreur de la fonction

my-+-nX-f-reî-+- etc.

sera égale à une quantité quelconque /, est proportionnelle à l'exponentielle

-kl*

H étant la somme des carrés de m, n, r, et c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité. Si dans la valeur précédente de x, on désigne par y, 5, X, les erreurs des observations Ai^'\ A'i^'\ i47'^ il est facile de voir que les coefficients de ces erreurs sont

( iH ifsin.îiûf — cos.siûf).— ^ — o l ' . — ^

\ 19/ ^ 7 " ij 1+2, 324. sm*. 219

i+2,3a4.sm*.2i9

— 2( iH j.sin.aiûf, — — 5—) — . , .

\ 19/ ^ 1+ 2,324* sm'.aiy

i+2,324.smV2i9

(i-f--^)(sin.2i9+cos.2i(i).— — ^ / . , . \ 19/^ ' '^ i+2,324»sm'.2iy

i+2,0 2 4.sm*.2iç La somme des carrés de ces coefficients est

' 1+2,324. sin*.2Î7' ,/^ 1 y

\ ' i+2,32 4.sin'.2i9/

la somme des carrés des coefficients des erreurs des observations

Bi^^ F.-*^» Ki' est égal à la précédente. En ajoutant ckmc ces deox

sommes, on aura

* 1+3,334- sm\2if* , /v I y

\ ' i+2,3a4-sin*.2i^/

Chaque syzygie fournit une quantité semblable; la somme de toutes ces quantités sera donc, pour les n syzygies, la quantité précédente multipliée par le nombre n des syzygies. Cette somme sera donc, relativement à toutes les syzygies, et relativement à toutes les valeurs de i , c'est-à-dire relativement à toutes les observations,

i+3,3a4-sin'.2if '

Ainsi la probabilité que / sera Terreur de x peut être supposée égale à

k' i-ha,3a4. sÎD*. sif

H étant une constante qu'il faut déterminer. Pour cela, j'observe que si Ton intègre cette différentielle depuis /= — oo jusquà /==oo, rintégrale doit être l'unité, puisqu'il est certain que la valeur de / est comprise dans ces limites; en faisant donc

on doit avoir

oo -s^V

dl.c = 1

oo

Mais on a, par un théorème connu,

J -—oo

TT étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité; on a donc

Ainsi la probabilité que Terreur de la valeur de x sera comprise dans des limites données est

l'intégrale étant prise dans ces limites.

On trouve de la même manière que la probabilité que l'erreur de la valeur àey sera comprise dans les limites données est

—^.Igdlc

l'intégrale étant prise dans ces limites , et g* étant égal à

nk 2 1

i6.A'* ' 1+2,32 4. CCS*. 217*

11 faut maintenant déterminer par les observations la valeur numérique de T7r. Pour cela, j'observe que par ma théorie analytique

des probabilités, si l'on nomme e la somme des carrés des différences des variations journalières de neuf heures du matin à trois heures du soir, d'un grand nombre s de jours à leur variation moyenne, on a, avec une très-grande vraisemblance,

iK —

ce qui donne

Le calcul de -p devient pénible, lorsque s est très-considérable;

mais on peut le simplifier de la manière suivante :

Je conçois le nombre s de jours partagé en groupes de jours, par exemple, dans un nombre i de mois moyens; et je suppose s assez grand pour que i soit lui-même un grand nombre. Je désigne par k et k", relativement à ces mois, ce que j*ai nommé k et k" relativement aux jours. Soit encore E la somme des carrés des difiFérences des erreurs des variations moyennes de chacun de ces mois, à la variation moyenne de tous ces mois. On aura par ce qui précède,

Mais la probabilité de l'erreur u de la variation moyenne de tous ces jours, ou de tous ces mois, est, par la théorie citée, proportionnelle à Texponentielle

Elle est encore proportionnelle à Texponentielle

en comparant ces exponentielles, on aura

Le calcul de E est beaucoup plus simple que celui de e, et c est

ainsi que la valeur numérique de p a été déterminée. Il y avait

pour cela quelques précautions à prendre. La variation diurne du baromètre n est pas la même à Paris, dans tous les mois; elle est la plus petite dans ceux de novembre, décembre et janvier, et la plus grande dans les trois mois suivants. Dans les six autres mois, elle difiFère peu de la variation moyenne de l'année. U y a donc des causes régulières de ces phénomènes, et que Ton ne doit pas confondre avec les causes irrégulières de la variation diurne. Les causes régulières agissant de la même manière sur la variation diurne des syzygies et sur celle des quadratures, elles n'influent point sur les valeurs de x et de j, qui ne dépendent que des difiFérences de ces variations, les valeurs de £, et de Fi ne dépendent que de ces difiFérences. Il faut donc, pour avoir la loi de probabilité des erreurs dont ces valeurs sont susceptibles, ne considérer que les variations diurnes dépendantes des seules causes irrégulières, et qui paraissent être celles des mois de mai, juin, juillet, août, septembre et octobre; ce sont celles dont on

a fait usage pour avoir la valeur de -p. On a trouvé ainsi, en

prenant le millimètre carré pour unité, E = 2,565ii8; d'où l'on tire

On a ensuite