i) ' .sin.(j-+-^yy

En restituant y, pour y, ces deux expressions deviennent

Tune et l'autre

X étant supposé plus petit que l'unité, cette valeur de P^'^ est toujours fort approchée lorsque i est un très-grand nombre : elle devient exacte lorsque i est infini. Mais il est remarquable que l'expression donnée ci-dessus de P^*\ par une suite de puissances de X, et qui dans le cas de /, un très-grand nombre, est composée d'un grand nombre de termes et de facteurs, se réduisent alors à une expression aussi simple.

Considérons présentement l'intégrale

^ Ç y,.dft\dœ\

J y/r*— 2Xr-f-i '

qui devient Y lorsque r= i . Le coefficient de -r-^^ dans cette intégrale développée par rapport aux puissances de - est, dans le cas où i est un très-grand nombre,

^y,.dfi\rfû)\cos[^^i'H-^jy— ^ttJ

-.ITT J

En intégrant cette fonction par rapport à yî, on a

On voit ainsi que quel que soit j», on arrivera toujours par le développement du radical — - suivant les puissances de— ,

à une série très-convergente, à cause du diviseur ( i H — j . i /— cir . Le coefficient de -^ dans ce développement est, par le n** 23 du troisième livre,

.COS.n(û)-«).(l-(X*)M(X'-" fJL'-''--'4-Pt

i+i.i+2...i+n \ 2.ai— I

le signe S comprenant toutes les valeurs de la fonction qu'il enveloppe, depuis 7i=o jusqu'à n = i: dans le cas de n=^o, il ne faut prendre que la moitié de cette fonction.

La première approximation nous a donné y, sous cette forme

Y'(o)+-Y'^'J-i-Y'f*^-i-etc.

En la prenant négativement et en y changeant (i en (i, on aura la valeur de ji, qui, substituée dans l'intégrale

/y^,dfi,dù3i' y/r*— 2rX + i