LIVRE ONZIÈME

développée par rapport aux puissances de -, donne, par une

série très-convergente, cette intégrale, et par conséquent la valeur de W On aura ainsi, au moyen de l'équation (4), une seconde approximation de la valeur de ay, ordonnée, comme la première, par une suite de fonctions de la forme Y'^'\ On aura ensuite, au moyen de Téquation (6) , une seconde approximation de la pesanteur p. Ces approximations seront suffisantes, vu le peu de densité de la mer et son peu de profondeur, comme on le verra bientôt.

Dans le cas où la terre est un sphéroïde de révolution , il est facile de voir que la valeur de V se simplifie et se réduit à une suite de termes compris dans la forme

2Tr.Q^'KfoL.Q^Ky4(i\ Q^'^ étant égal à

5 — = — . \li .fjt'~' --etc. ) ,

et Q'^'^ étant ce que devient Q''\ lorsqu'on y change (x en (x' ; i doit être étendu depuis zéro jusqu'à l'infini. Si l'on nomme B l'angle dont (jt est le cosinus, et 9' l'angle dont (x' est le cosinus, on aura, lorsque i est un grand nombre.

Q'(0 ^ COS.(l+fg^— 1-^)

V/>.(iV)"^ L'intégrale

deviendra à fort peu près

8tt cos.(g+7.g--7^) ( /i-V/sin.Ô'. sin.[i + |. «' — |w], 1.2 i+i \/sin.Ô I—/. \Js\n. 9. sin. (1+7. ô — yisr)

On voit par là combien la valeur précédente de V est convergente.

4. Considérons maintenant les variations des degrés et de la pesanteur à la surface des continents et des îles, ou, ce qui revient au même, à la surface du sphéroïde terrestre: ces variations sont les seules que nous puissions observer. Pour avoir leur expression analytique, imaginons une atmosphère infiniment rare, d'une densité constante, très-peu élevée, mais qui cependant embrasse toute la terre et ses montagnes : soit (ly l'élévation de ses points au-dessus de la surface du sphéroïde terrestre. L'équation (i) du n° 2, qui détermine la figure de la mer, déterminera la partie de la figure de l'atmosphère qui s'élève au-dessus de la mer; car il est clair que la valeur de \ ' dans cette équation étant de l'ordre a, est, aux quantités près de l'ordre a*, la même aux deux surfaces. Mais à la surface de la mer, r doit être changé dans i-t-ay-hay; tandis que relativement à la surface de fatmosphère supposée, il doit être changé dans l-f-av-h-ay^ Cela posé, si l'on retranche ces deux équations fune de fautre, on aura

aj" — ay = constante.

Ainsi tous les points de la surface de cette atmosphère qui correspondent à la surface de la mer sont également élevés au-dessus de celte dernière surface, en sorte que ces deux surfaces sont à très-peu près semblables.

Si l'on nomme p la pesanteur à la surface de fatmosphère, il est visible que cette pesanteur sera à la pesanteur p, à la surface

de la mer, comme 7 : r,e est à ; z rr, ; ce qui donne

à très-peu près, en désignant ay — ay par al, quantité qui, comme on vient de le voir, est constante,