LIVRE ONZIÈME

On a, relativement à la mer,

jxy. dm=fxy. ay. d^, . d^, ,

ay étant sa profondeur; maïs les intégrales relatives à (x» et tar» ne peuvent être prises depuis (i{=: — i jusqu'à |Xi=i, et depuis tar, = 0 jusqu'à ^,= 211:, que dans le cas où la mer recouvre entièrement le sphéroïde terrestre. Considérons ce cas particulièrement : alors il ne faut substituer pour ay que sa partie aY'^* . L'équation (4) du n° 2 du chapitre précédent donne

S.fp.d.a^

les quantités Y'-*^ Y^*\ Y^*\ se rapportant ici à l'axe des (x. Mais, rapportées à Taxe des (x^ , elles restent les mêmes : elles ne sont que des manières diflFérentes d'exprimer les fonctions du rayon terrestre et du rayon de chaque couche du sphéroïde, comprises dans la forme aY^*\ ou assujetties à la même équation aux diflFérences partielles. La partie de Y'^*^ dépendante de (^ ne produit aucun terme dans H'^'^ H'^*\ H'^*^ H'^*^ Pour le faire voir, considérons la valeur de W'\ ou l'intégrale fxy.Y'^*Kdii^.d^,. Il est facile de voir que Ton peut donner à cette intégrale cette forme fxy.Y^^Kd^k.d^, les limites des intégrales relatives à (x et tar étant comme pour (ti et txTi, (x= — i, |x=i, tiT=:o, tar^^^Tr. Alors , en substituant dans Hntégrale fxy.Y'^^Kd^i.d^,

(xyi — (x*.cos.tzr, pour xy, et ^^ — 5 — -^ pour Y'^*\ on voit

5./p.d.a' que cette intégrale est nulle; ainsi cette partie de Y'^*^ ne produit aucun terme dans H'^"^ et Ton trouverait, de la même manière,

qu elle n'en produit aucun dans H''"', H'"', et H''"'. L'autre partie de Y''*' peut être exprimée par

h'^'>.U*- ij-h A'"'. ft. .y ! — (*.'. sin. -or.-f- /r\fi..v/i— (*.'. cos. -bt, H- A'W. (l — fJt.') . Sin.2 -BTi-h/*'" . (l — j*,*). COS. 2 <». ;

et l'on aura

/i'"= ZEMEl, (,)

en faisant successivement 5=0, 5=1 , 5 = 2 , « = 3 , s = 4. Cela posé, les équations

donnent les suivantes

i h'^"-i-fp.d,a'h^" j

0= sin.2Â. < — sin. liTl . [h'^' -\-fp .d. a* li'p

(— cos. 2 n. (ft'":H-/p.d. a*h")\

cos.2A.j^^^^ n.(*'"M-/p.rf.a'A«)r

o-cosA ) ^°'- n.(A'<-^-+-/p.rf.a'/,":)j 0-COS./V. ^ ^.^ n.(ft'>'^/p.(/.a'^"))

2sinA I cos.2n.(/^^/p.rf.a'A":)j "" ^^- i— sin.2n.(pM-/p.J.a'/t'')r

Désignons par/ et ^ les coefTicients de sin. 2 A et de cos.aA, dans la première de ces deux équations; et par m et n les coefficients de sin. A et de cos. A dans la seconde; on aura

tang.A = -^,