LIVRE ONZIÈME

ce qui donne

sin.2A= — — :, cos.2A= — — — -;

d'où Ton tire

0=:= — imnf-\-[m^--n^).g.

En substituant pour/, g, m, n, leurs valeurs, en faisant

tang.n = u,

on trouve, après les réductions, une équation du troisième degré en M, et qui conséquemment a une racine réelle. Cette équation coïncide avec Téquation du troisième degré en u, que nous avons donnée dans le n"* 27 du premier livre, relativement aux axes principaux des corps solides.

On remplira la condition que Taxe de rotation passe par le centre de gravité de la terre entière, en observant que l'équation (4) du n** 2 du chapitre précédent donne

fp.d.a* en désignant donc Texpression de Y'^'' par

9'"'. (x,H- 9'w. \/i—^\ sin. -or, -i-7'w. y/i— jx,'. cos. -o. , on aura

~ fp.d.a*

en faisant successivement .s=o, s-=\, $=2. On aura ainsi pour toute la terre,

fx. dm = I air . cos. A. \fp. d. a' 7'" 4- 9'"' + Q<"./p. d. o'{

+ |air.sin.A.| sin.n.(/p.rf.«'9".+^'(..+Q(...yp.rf.«.u -i 1+ cos.n. (/p. d. a' (jf'"+9''"+ Q'"./p. rf. a*) ( '

/r.rfm=^«ir.cos.A.! -n.n.{/p.d «'9<o+9'.o+Qo../p.rf.a*)j

- |a7r.sin.A.{ (/p.(/.a»7'"+7''"+Q'"./p.rf.a'){,

/•z rfm-^^air i cos.n.(/p. J.a'9")H-9'")+Q"^/p.rf.a*)l •^ ' 3 •|sin.n.(/p.rf.a*9W+9''" + OW./p.rf.a*)(*

Les conditions nécessaires pour que Taxe de rotation passe par le centre de gravité de la terre sont que ces trois valeurs de fx. dm, fy. dm, fz.dm, soient nulles; en les égalant donc à zéro, on déterminera les trois constantes Q'"\ Q'"' et Q'"'. Ainsi le sphéroïde terrestre, recouvert en entier par la mer en équilibre, a un axe de rotation passant par le centre commun de gravité du sphéroïde et de la mer, et autour duquel le sphéroïde tourne d^une manière uniforme.

L'analyse précédente conduit à un théorème fort simple sur la détermination de cet axe. En efiFet, l'équation précédente (i) donne, en ohsw^ant que l'on peut mettre l&\ sous la forme/d. a'A'*',

A-'-'-f-/p.(/.a'fe'-'=/^P~'^-y^",

s devant être supposé successivement égal à o, i, 2, 3, 4* En substituant les diverses valeurs du premier membre de cette équation dans les trois équations qui déterminent les quantités A, II et e, on voit que ces équations déterminent Taxe principal du