PAR SON REFROIDISSEMENT

9. Soit V la chaleur d'un point quelconque d'une masse homogène, déterminé par les coordonnées orthogonales x^y, z; on a l'équation générale

/ddy\ . /ddy\ , /dd\\ j /d\\ f .

dt est l'élément du temps, et k est une constante dépendante des propriétés de la substance, relatives à la chaleur. Lorsque la

masse est parvenue à son état final de température, [-j:] est nul,

et alors l'équation précédente devient celle que j'ai trouvée relativement à l'attraction des sphéroïdes, V exprimant, dans ce cas, la somme des molécules du corps attirant, divisées respectivement par leurs distances au point attiré. On peut donc déterminer par l'analyse exposée dans le troisième livre de la Mécanique céleste l'état final de la température d'une sphère échaufîée d'une manière quelconque à l'extérieur. Ce qui complète l'analogie de la théorie de la chaleur avec celle de l'attraction des sphéroïdes est qu'il existe à la surface, des équations de la même nature. A la surface d'une sphère dont r est le rayon , on a

/ étant une constante, et l étant une fonction dépendante de

l'action échauffante des causes extérieures. Cette équation répond à l'équation à la surface des sphéroïdes attirants, que l'on trouve dans le n*" 10 du troisième livre cité.

M. Fourier a donné le premier les équations fondamentales ( i ) et (2), dans l'excellente pièce qui a remporté le prix proposé par l'Institut sur la théorie de la chaleur : j'en donnerai la démonstration dans un autre livre. J'observerai ici que les quantités y et k peuvent n'être pas rigoureusement constantes, et varier avec la température V; mais on peut, sans erreur sensible, les supposer constantes tant que l'on ne considère que de petites variations de température.

J'ai transformé l'équation (1) en coordonnées relatives à la distance r d'une molécule du globe à son centre , à la longitude ist de cette molécule, et au sinus (x de sa latitude. Elle devient alors

f dd\\ /d\\

En supposant ensuite V exprimé par une suite de termes de la forme c^^'Y^'l^^'^ c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et Y^*^ étant une fonction rationnelle et entière de l'ordre i, en (x, \/i — (x\ sin.®, et \/i — fi\ cos.®, genre de fonctions dont j'ai fait un grand usage dans la théorie des attractions des sphéroïdes, et qui sont telles que Ton a

(ddYi^\ . . . /rfYW\

i—iJL* \ dfi

on aura

Pour intégrer cette équation, soit

r^ nk=^z, rq^^ = cf' ;