TOME T. J

i étant ici un nombre entier positif, cette valeur de q^^ nest composée que d'un nombre fini de termes. Pour en exclure, comme on doit le faire, ceux qui deviennent infinis lorsque r est nul, q^^ étant toujours fini, même au centre, il faut faire d nul, si i

est pair, et 0= - si i est impair, tt étant la demi-circonférence

dont le rayon est l'unité.

L'équation (a) donne à la surface où nous supposerons que r devient a

En désignant ay/nîpar e, et nommant Z et Z' les coefficients de A.sin.z, et de A.cos.z, dans lesquels on change z en e, on aura

-t-cos.e.[/Z'+f(4^)-t-l.Z

Cette équation est transcendante : elle donne pour e, et par conséquent pour n, une infinité de valeurs auxquelles correspondent autant de fonctions de la forme Y^'\ et qui sont déterminées par l'état initial de la chaleur du globe.

L'équation précédente a pour une de ses racines e=:=o, et la valeur correspondante de (j^^ est jSr', |3 étant une constante arbitraire.

Si l'on développe la partie de la fonction / de l'équation (a), qui est indépendante du temps, dans une suite de la forme

Y'(o)-f-Y'^'î-t-Y'(^'-+-etc.

Y'^'^ étant assujetti à la même équation aux différences partielles que Y^'\ l'équation (2) donnera, en comparant les fonctions semblables.

ce qui donne

YW — Y'^'^

ainsi la partie de la chaleur V d'un point du globe, indépendante du temps, et qui finit par être sa température finale, est

¥'«•) H — '— . ^. r«^) H — '—. -' . rw -h etc.

On peut observer ici que cette partie de V varie très-lentement pour la terre près de la surface, à cause de la grandeur du rayon a. Sa variation est insensible dans les mines les plus profondes : ainsi Taccroissement observé dans la chaleur des mines à mesure que l'on y descend n'en dépend point, et paraît indiquer que le globe terrestre n'est point encore parvenu à son état final de température.

On représente assez bien la température moyenne des climats en la faisant proportionnelle au produit de vingt-sept degrés centésimaux par le carré du cosinus de la latitude. En supposant donc que la valeur de Y^*^ relative à la chaleur initiale de la terre a déjà disparu, en sorte qu'il n'y ait de sensible maintenant que la fonction de ce genre relative à la chaleur solaire, on aura

Y'<.)=.ar.(i-ft').

La grandeur du rayon terrestre réduit à très-peu près l'équation (4) à celle-ci,

O .-:::= Z. siu. S -f- Z'. COS. S.

En y supposant successivement i=o, i=i, 1 = 2 , etc. on verra

facilement que la plus petite valeur de e autre que e=o, est tt

dans le cas de i nul^ tt étant le rapport de la circonférence au diamètre : elle est comprise entre tt et ^tt dans le cas de i=i; entre -f-TT et 2 7r lorsque 1 = 2; entre 2ir et -f-Tr lorsque i=3, et ainsi du reste. Pour une même valeur de i, les exponentielles c""'*' disparaîtront, par Taccroissement du temps, les unes après les autres; Texponentielle correspondante à la plus petite valeur de n et de e disparaissant la dernière. Pareillement, tous les termes correspondants à ces plus petites valeurs disparaîtront dans rordre de grandeur de i, en sorte qu'avant rétablissement de la température finale, il ne restera de sensible que le terme

Je supposerai ici la terre parvenue à cet état, e est, comme on Ta vu, égal à tt; mais l'équation (4) donne plus exactement

d'où l'on tire

et

V= — .r-^.sin.-.ir.l 1 7).

r a \ af)

Cette équation donne à la surface, où r=a, la partie de la chaleur relative à Fexponentielle c~"', égale à

L'accroissement de la chaleur à la profondeur z au-dessous de la surface est, par le théorème de Taylor, —z (^— ) > et en vertu de l'équation (2), ce terme devient /z'.V, en ne considérant dans