LIVRE TROISIÈME

très-peu près égal au carré de Tare divisé par le diamètre; Texpression de cette force est donc le carré de Tare décrit divisé par le carré du temps et par le rayon du cercle. L'arc divisé par le temps est la vitesse même du corps; la force centrale et la force centrifuge sont donc égales au carré de la vitesse divisé par le rayon.

Rapprochons ce résultat de celui que nous avons trouvé précédemment, et suivant lequel la pesanteur est égale au carré de la vitesse acquise, divisé par le double de l'espace parcouru suivant la verticale; nous verrons que la force centrifuge est égale à la pesanteur, si la vitesse du corps qui circule est la même que celle acquise par un corps pesant qui tomberait d'une hauteur égale à la moitié du rayon de la circonférence décrite.

Les vitesses de plusieurs corps mus circulairement sont égales aux circonférences qu'elles décrivent divisées par les temps de leurs révolutions : les circonférences sont comme les rayons; ainsi les carrés des vitesses sont comme les carrés des rayons divisés par les carrés de ces temps. Les forces centrifuges sont donc entre elles comme les rayons des circonférences divisés par les carrés des temps des révolutions. Il suit de là que, sur divers parallèles terrestres, la force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre est proportionnelle aux rayons de ces parallèles.

Ces beaux théorèmes, découverts par Huygens, ont conduit Newton à la théorie générale du mouvement dans les courbes, et à la loi de la pesanteur universelle.

Un corps qui décrit une courbe quelconque tei^d à s'en écarter par la tangente; or, on peut toujours imaginer un cercle qui passe par deux éléments contigus de la courbe, et que l'on nomme cercle osculateur: dans deux instants consécutifs, le corps est mû sur la circonférence de ce cercle; sa force centrifuge est donc égale au carré de sa vitesse divisé par le rayon du cercle osculateur; mais la position et la grandeur de ce cercle varient sans cesse.

Si la courbe est décrite en vertu d'une force dirigée vers on point fixe, on peut décomposer cette force en deuK, Tune suivant le rayon osculateur, Tautre suivant Télément de la courbe. La première fait équilibre à la force centrifuge : la seconde augmente ou diminue la vitesse du corps; cette vitesse est donc continueliement variable. Mais elle est toujours telle que les aires décrites par le rayon vecteur autour de l'origine de la force sont proportionn/Mes aux temps. Réciproquement, si les aires tracées par le rayon vecteer autour d'un point fixe croissent comme les temps, la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. Ces propositions fondamentales, dans la tliéorie du système du monde, se démontrent aisément de cette manière.

La force accélératrice peut être supposée n'agir qu*au commen* cernent de chaque instant pendant lequel le mouvement du corps est uniforme : le rayon vecteur trace alors un petit triangle. Si la force cessait d'agir dans l'instant suivant, le rayon vecteur tracerait dans ce nouvel instant, un nouveau triangle égal au premier, puisque ces deux triangles ayant leur sommet au point fixe origine de la force, leurs bases situées sur une même droite seraient égales, comme étant décrites avec la même vitesse pendant des instants que nous supposons égaux. Mais, au commencement dn nouvel instant, la force accélératrice se combine avec la force tangentielle du corps, et fait décrire la diagonale du parallélogramme dont les côtés représentent ces forces. Le triangle que le rayon vecteur décrit en vertu de celle force combinée est égal à celui qu'il eût décrit sans l'action de la force accélératrice; car ces deux triangles ont pour base commune le rayon vecteur de la fin du premier instant, et leurs sommets sont sur une droite parallèle à cette base; faire tracée par le rayon vecteur est donc égale dans deux instants consécutifs égaux; et par conséquent le secteur décrit par ce rayon croît comme le nombre de ces instants ou comme les temps. Il est visible que cela n'a lieu qu'autant que