LIVRE TROISIÈME

la force accélératrice est dirigée vers le point fixe; autrement les triangles que nous venons de considérer n'auraient pas même hauteur. Ainsi la proportionnalité des aires aux temps démontre que la force accélératrice est dirigée constamment vers Torigine du rayon vecteur.

Dans ce cas, si Ton imagine un très-petit secteur décrit pendant un intervalle de temps fort court; que, de la première extrémité de Tare de ce secteur, on mène une tangente à la courbe, et que Ton prolonge jusqu'à cette tangente le rayon mené de l'origine de la force à l'autre extrémité de l'arc, la partie de ce rayon interceptée entre la courbe et la tangente sera visiblement l'espace que la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace par le carré du temps, on aura l'expression de la force; or, le secteur est proportionnel au temps ; la force centrale est donc comme la partie du rayon vecteur interceptée entre la courbe et la tangente divisée par le carré du secteur. A la rigueur, la force centrale, dans les divers points de la courbe, n'est pas proportionnelle à ces quotients; mais elle approche d'autant plus de l'être, que les secteurs sont plus petits, en sorte quelle est exactement proportionnelle à la limite de ces quotients. L'analyse différentielle donne cette limite, en fonction du rayon vecteur, lorsque la nature de la courbe est connue; et alors on a la fonction de la distance à laquelle la force centrale est proportionnelle.

Si la loi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu'elle fait décrire présente plus de difficulté. Mais, quelles que soient les forces dont le corps, toujours supposé libre, est animé, on déterminera facilement de la manière suivante les équations différentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux, la position du corps à un instant quelconque sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes, le produit de la

résultante de toutes les forces parallèles à Tune des C€>ordonnéeSv par Télément du temps pendant lequel elle agit, exprimera faecroissement de la vitesse du corps parallèlement à cette coordonnée; or, cette vitesse peut être supposée égale à rélément de la coordonnée divisé par Télément du temps; la différentielle do quotient de cette division est donc égale au produit précédât La considération des deux autres coordonnées fournit denx égalités semblables; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une recherche de pure analyse, qui se réduit à Tintégntion de ces équations difierenlielies.

En général, Télément du temps étant supposé constant, la différence seconde de chaque cooixlonnée, divisée par le carré de cet élément, représente une force qui, appliquée en sens contraire aa point, ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différence de ces forces par la variation arbitraire de la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trois coordonnées, leur somme sera nulle par la condition de l'équilibre. Si le point est libre, les variations des trois coordonnées seront toutes arbitraires, et en égalant à zéro le coefilcient de chacune d'elles, on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais, si le point nest pas libre, on aura entre les trois coordonnées une ou deux relations qui donneront un pareil nombre d'équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen autant de ces variations, on égalera les coelficients des variations restantes à zéro^ et Ton aura les équations différentielles du mouvement, équations qui, combinées avec les relations des coordonnées, détermineront, pour un instant quelconque, la position du point.

L'intégration de ces équations est facile quand la force est di* rigée vers un centre fixe; mais souvent la nature des forces la rend impossible. Cependant la considération des équations différentielles conduit à quelques principes intéressants de mécanique