LIVRE TROISIEME

tels que le suivant. La différentielle du carré de la vitesse d'un point soumis à Taction de forces accélératrices est égale au double de la somme des produits de chaque force par le petit espace dont le point s'avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d'en conclure que la vitesse acquise, par un corps pesant, le long d'une ligne ou d'une surface courbe, est la même que s'il tombait verticalement de la même hauteur.

Plusieurs philosophes, frappés de l'ordre qui règne dans la nature et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir à la mécanique, ils ont cherché l'économie que la nature avait eue pour objet dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient d'un point à un autre par le chemin le plus court, et par conséquent dans le moins de temps possible, en supposant la vitesse du rayon lumineux toujours la même. Fermât, l'un des plus beaux génies dont la France s'honore, généralisa ce principe en l'étendant à la réfraction de la lumière. Il supposa donc qu'elle parvient d'un point pris au dehors d'un milieu diaphane, à un point intérieur, dans le temps le plus court; regardant ensuite comme très-vraisemblable que sa vitesse devait être plus petite dans ce milieu que dans le vide, il chercha dans ces hypothèses la loi de la réfraction de la lumière. En appliquant à ce problème sa belle méthode de maximis et de minimis, que l'on doit considérer comme le véritable germe du calcul différentiel, il trouva, conformément à l'expérience, que les sinus d'incidence et de réfraction devaient être dans un rapport constant plus grand que l'unité. La manière heureuse dont Newton a déduit ce rapport de l'attraction des milieux fit voir à Maupertuis que la vitesse de la lumière augmente dans les milieux diaphanes, et qu'ainsi ce n'est point, comme Fermât le prétendait, la somme des quotients des espaces décrits dans le vide et dans le milieu , et

divisés par les vitesses correspondantes, mais la somme des produits de ces quantités, qui doit être un minimum. Euler étendit cette supposition aux mouvements variables à chaque instant, et il prouva, par divers exemples, que parmi toutes les courbes quun corps peut décrire en allant d'un point à l'autre, il choisit toujours celk dans laquelle Hutàyrale du produit de sa masse par sa vitesse et par l'élément de la courbe est un minimum. Ainsi la vitesse d*un point mû dans une surface courbe , et qui n est sollicité par aucune force, étant constante, il pai*vient d*un point à un autre par la ligne la plus courte sur cette surface. On a nommé Fintégrale précédente action d'un corps, et la réunion des intégrales semblables, relatives à chaque corps d'un système, a été nommée action tlu système. Euler établit donc que cette action est toujours un minimum, en sorte que l'économie de la nature consiste à l'épargner : c^est là ce qui constitue le principe de la moindre action, dont on doit regarder Euler comme le véritable inventeur, et que Lagrange ensuite a dérivé des lois primordiales du mouvement. Ce principe n'est, au fond, quun résultat curieux de ces lois, qui, comme on Ta vu, sont les plus naturelles et les plus simples que Ton puisse imaginer, et qui par là semblent découler de l'essence même de la matière. Il convient à toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que Ton substitue dans ce principe, au lieu de la vitesse, la fonction de la vitesse par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc point être érigé en cause finale; et, loin dV voir donné naissance aux lois du mouvement, il n'a pas même contribué à leur découverte, sans laquelle on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature.