LIVRE TROISIEME

dynamique, si Ton ne savait pas que les idées les plus simples sont presque toujours celles qui s'offrent les dernières à l'esprit humain.

Il restait encore à unir le principe que nous venons d'exposer, à celui des vitesses virtuelles, pour donner à la mécanique toute la perfection dont elle paraît susceptible. C'est ce que Lagrange a fait, et par ce moyen il a réduit la recherche du mouvement d'un système quelconque de corps à l'intégration des équations différentielles. Alors l'objet de la mécanique est rempli, et c'est à l'analyse pure à achever la solution des problèmes. Voici la manière la plus simple de former les équations différentielles du mouvement d'un système quelconque.

Si l'on imagine trois axes fixes perpendiculaires entre eux, et qu'à un instant quelconque on décompose la vitesse de chaque point matériel d'un système de corps, en trois autres parallèles à ces axes, on pourra considérer chaque vitesse partielle comme étant uniforme pendant cet instant : on pourra ensuite concevoir, à la fin de l'instant, le point animé parallèlement à l'un de ces axes, de trois vitesses, savoir, de sa vitesse dans cet instant, de la petite variation qu'elle reçoit dans l'instant suivant, et de cette même variation appliquée en sens contraire. Les deux premières de ces vitesses subsistent dans l'instant suivant; la troisième doit donc être détruite par les forces qui sollicitent le point, et par l'action des autres points du système. Ainsi en concevant les variations instantanées des vitesses partielles de chaque point du système, appliquées à ce point en sens contraire, le système doit être en équilibre en vertu de toutes ces variations et des forces qui raniment. On aura par le principe des vitesses virtuelles, les équations de cet équilibre; et en les combinant avec celles de la liaison des parties du système, on aura les équations différentielles du mouvement de chacun de ses points.

Il est visible que l'on peut ramener de la même manière les

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lois du mouvement des fluides à celles de leur équilibre. Dans ce cas, les conditions relatives à la liaison des parties du système se réduisent à ce que le volume d'une molécule quelconque du fluide reste toujours le même, si le fluide est incompressible; et qu'il dépende de la pression suivant une loi donnée si le fluide est élastique et compressible. Les équations qui expriment ces conditions et les variations du mouvement du fluide renferment les difierences partieUes des coordonnées de la molécule, prises soit par rapport au temps, soit par rapport aux coordonnées primitives. L'intégration de ce genre d'équations ofire de grandes difficultés, et l'on n'a pu y réussir encore que dans quelques cas particuliers relatifs au mouvement des fluides pesants dans des vases , à la théorie du son , et aux oscillations de la mer et de l'atmosphère.

La considération des équations difiérentielles du mouvement d'un système de corps a fait découvrir plusieurs principes de mécanique, très-utiles et qui sont une extension de ceux que nous avons présentés sur le mouvement d'un point, dans le second chapitre de ce livre.

Un point matériel se meut uniformément en ligne droite, s'il n'éprouve pas l'action de causes étrangères. Dans un système de corps agissant les uns sur les autres sans éprouver l'action de causes extérieures , le centre commun de gravité se meut uniformément en ligne droite, et son mouvement est le même que si tous les corps étant supposés réunis à ce point, toutes les forces qui les animent lui étaient immédiatement appliquées; en sorte que la direction et la quantité de leur résultante restent constamment les mêmes.

On a vu que le rayon vecteur d'un corps sollicité par une force dirigée vers un point fixe décrit des aires proportionnelles aux temps. Si l'on suppose un système de corps agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, et sollicités par une force