LIVRE QLAThlÈME

avec cette différence qu elle ralentit ce mouvement quand celui du soleil augmente , et qu elle l'accélère quand le mouvement du soleil diminue; en sorte que ces deux équations sont affectées d'un signe contraire. Le mouvement angulaire du soleil est, comme on Ta vu dans le premier livre, réciproque au carré de sa distance; dans le périgée, cette distance étant d'un 60**'°'* plus petite que sa grandeur moyenne, la vitesse angulaire est augmentée d'un 3Qième. j^ diminution d'un 1 7 g*'"**" produite par l'action du soleil, dans le mouvement lunaire, étant proportionnelle à l'augmentation du cube de la distance du soleil à la terre, elle est alors plus grande d'un 20*^*; l'accroissement de cette diminution est donc la 3580'^'' partie de ce mouvement. De là il suit que l'équation du centre du soleil est à l'équation annuelle de la lune comme un 3o**^ du mouvement solaire est à un 3 5 80*^"^ du mouvement lunaire; ce qui donne 2 398^^ pour l'équation annuelle. Elle est d'un 8**™* environ plus petite, suivant les observations : cette différence dépend des quantités négligées dans ce premier calcul.

Une cause semblable à celle de l'équation annuelle produit l'équation séculaire de la lune. Halley a remarqué le premier cette équation, que Dunthorne et Mayer ont confirmée par une discussion approfondie des observations. Ces deux savants astronomes ont reconnu que le même moyen mouvement lunaire ne peut pas satisfaire aux obsei^ations modernes et aux éclipses observées par les Chaldéens et par les Arabes. Ils ont essayé de les représenter ^en ajoutant aux longitudes moyennes de ce satellite une quantité proportionnelle au carré du nombre des siècles avant ou après 1700, Suivant Dunthorne, cette quantité est de 'io\g pour le premier siècle. Mayer l'a faite de 2 1",6 dans ses premières Tables de la lune, et l'a portée à 27^,8 dans les dernières. Enfin, Lalande, par une discussion nouvelle de cet objet, a été conduit au résultat de Dunthorne.

Les observations arabes dont on a principalement fait usage

sont deux éclipses de soleil et une éclipse de lune, observées au Caire par Ëbn-Iounis, vers la fin du x* siècle, et depuis longtemps extraites d'un manuscrit de cet astronome, existant dans la bibliothèque de Leyde. On avait élevé des doutes sur la réalité de ces éclipses ; mais la traduction que Caussin vient de faire de la partie de ce précieux manuscrit qui renferme les observations, a dissipé ces doutes; de plus, elle nous a fait connaître vingt-cinq autres éclipses observées parles Arabes, et qui confirment l'accélération du moyen mouvement de la lune. Il suffit, d'ailleurs, pour l'établir, de comparer les observations modernes à celles des Grecs et des Chaldéens. En effet, Delambre, Bouvard et Burg ayant déterminé, au moyen d'un grand nombre d'observations des deux siècles précédents, le mouvement séculaire actuel, avec une précision qui ne laisse qu'une très-légère incertitude , ils l'ont trouvé de six ou sept cents secondes plus grand que par les observations modernes comparées aux anciennes ; le mouvement lunaire s'est donc accéléré depuis les Chaldéens ; et les observations arabes faites dans l'intervalle qui nous en sépare venant à l'appui de ce résultat, il est impossible de le révoquer en doute.

Maintenant, quelle est la cause de ce phénomène? La gravitation universelle qui nous a fait si bien connaître les nombreuses inégalités de la lune rendnelle également raison de son inégalité séculaire? Ces questions sont d'autant plus intéressantes à résoudre, que, si l'on y parvient, on aura la loi des variations séculaires du mouvement de la lune; car on sent que l'hypothèse d'une accélération proportionnelle au temps, admise par les astronomes, n'est qu'approchée et ne doit pas s'étendre à un temps illimité.

Cet objet a beaucoup exercé les géomètres; mais leurs recherches, pendant longtemps infructueuses, n'ayant fait découvrir, soit dans l'action du soleil et des planètes sur la lune, soit dans les figures non sphériques de ce satellite et de la terre , rien qui

puisse altérer sensiblement son mouvement moyen, quelques-uns avaient pris le parti de rejeter son équation séculaire; d'autres, pour rexpliquer, avaient eu recours à divers moyens tels que l'action des comètes, la résistance de Téther, et la transmission successive de la gravité. Cependant la correspondance des autres phénomènes célestes avec la théorie de la pesanteur est si parfaite, que Ton ne peut voir sans regret Téquation séculaire de la lune se refuser à cette théorie, et faire, seule, exception d'une loi générale et simple dont la découverte, par la grandeur et la variété des objets qu elle embrasse, fait tant d'honneur à l'esprit humain. Cette réflexion m'ayant déterminé à considérer de nouveau ce phénomène, après quelques tentatives, je suis enfin parvenu à découvrir sa cause.

L'équation séculaire de la lune est due à l'ojction du soleil sur ce satellite^ combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre. Pour nous former une idée juste de cette cause, rappelons-nous que les éléments de l'orbe de la terre éprouvent des altérations par l'action des planètes : son grand axe reste toujours le même; mais son excentricité, son inclinaison sur un plan fixe, la position de ses nœuds et de son périhélie varient sans cesse : rappelons-nous encore que l'action du soleil sur la lune diminue d'un 1 79'^^ sa vitesse angulaira, et que son coefficient numérique varie réciproquement au cube de la dislance de la terre au soleil; or, en développant la puissance cubique inverse de cette distance dans une série ordonnée par rapport au sinus et au cosinus du moyen mouvement de la terre et de ses multiples, le demi-grand axe de l'orbe terrestre étant pris pour unité, on trouve que cette série contient un terme égal à trois fois la moitié du carré de f excentricité de cet orbe; la diminution de la vitesse angulaire de la lune renferme donc le produit de ce terme par un 1 79'^""'' de cette vitesse. Ce produit se confondrait avec la vitesse moyenne angulaire de la lune, si l'excentricité de l'orbe terrestre était cons-^

tante; mais sa variation, quoique très-petite, a une influence sensible, à ia longue, sur le mouvement lunaire. Il est visible quil accélère ce mouvement quand l'excentricité diminue ; ce qui a eu lieu depuis les observations anciennes jusqu'à nos jours. Cette accélération se changera en retardement quand l'excentricité, parvenue à son minimum , cessera de diminuer pour commencer à croître.

Dans l'intervalle de lyôo à i85o, le carré de l'excentricité de l'orbe terrestre a diminué de 0,00000140695 ; l'accroissement correspondant de la vitesse angulaire de la lune a donc été un 0,00000001 1 782 1*^^ de cette vitesse. Cet accroissement ayant eu lieu successivement et proportionnellement au temps, son effet sur le mouvement de la lune a été de moitié moindre que si dans tout le cours du siècle il eût été le même qu'à la fin. Il faut donc, pour déterminer cet effet, ou l'équation séculaire de la lune, à la fin d'un siècle à partir de 1801 , multiplier le mouvement séculaire de la lune, par la moitié d'un très-petit accroissement de sa vitesse angulaire; or, dans un siècle, le mouvement de la lune est de 5347405406"; on aura ainsi 3l^5ol7 pour son équation séculaire.

Tant que la diminution du carré de l'excentricité de l'orbe terrestre pourra être supposée proportionnelle au temps, l'équation séculaire de la lune croîtra sensiblement comme le carré du temps; il suffira donc de multiplier 3 1^,501 7 par le carré du nombre des siècles écoulés entre le temps pour lequel on calcule et le commencement du xix^ siècle. Mais j'ai reconnu qu'en remontant aux observations chaldéennes, le terme proportionnel au cube du temps, dans l'expression en série de l'équation séculaire de la lune, devenait sensible. Ce terme est égal à o^o57Ql4 pour le premier siède; il doit être multiplié par le cube du nombre des siècles, à partir de 1801, ce produit étant négatif pour les siècles antérieurs.