LIVRE QUATRIÈME

gène en équilibre. Toutes les couches elliptiques semblables qui recouvrent l'un quelconque d'entre eux ne contribuent point à sa pesanteur, et la résultante des attractions qu'il éprouve est uniquement due à l'attraction d'un sphéroïde elliptique semblable au sphéroïde entier, et dont la surface passe par ce point. Les molécules semblables et semblablement placées de ces deux sphéroïdes attirent respectivement ce point et le point correspondant de la sur£ace extérieure, proportionnellement aux masses divisées par les carrés des distances; les masses sont comme les cubes des dimensions semblables des deux sphéroïdes, et les carrés des distances sont comme les carrés des mêmes dimensions; les attractions des molécules semblables sont donc proportionnelles à ces dimensions, d'où il suit que les attractions entières des deux sphéroïdes sont dans le même rapport et leurs directions sont parallèles. Les forces centrifuges des deux points que nous considérons sont encore proportionnelles aux mêmes dimensions, leurs pesanteurs, qui sont les résultantes de toutes ces forces, sont donc comme leurs distances au centre de la masse fluide.

Maintenant, si Ton conçoit deux colonnes fluides dirigées du centre du sphéroïde. Tune au pôle et l'autre à un point quelconque de la surface, il est clair que si le sphéroïde est très-peu aplati, les pesanteurs décomposées, suivant les directions de ces colonnes, seront à très-peu près les mêmes que les pesanteurs totales; en partageant donc les longueurs des colonnes dans le même nombre de parties infiniment petites proportionnelles à ces longueurs, les poids des parties correspondantes seront entre eux comme les produits des longueurs des colonnes par les pesanteurs aux points de la surface où elles aboutissent; les poids entiers de ces colonnes fluides seront donc dans le même rapport. Ces poids doivent être égaux pour l'équilibre; les pesanteurs à la surface sont, par conséquent, réciproques aux longueurs des colonnes. Ainsi, ie rayon de l'équateur surpassant d'un a3o*^"* celui du

pôle, la pesanteur au pôle doit surpasser d'un 280'^* la pesanteur à l'équateur.

Cela suppose que la figure elliptique satisfait à l'équilibre d'une masse fluide homogène : c'est ce que Maclaurin a démontré par une très-belle méthode, de laquelle il résulte que l'équilibre est alors rigoureusement possible, et que si l'ellipsoïde est très-peu aplati, l'ellipticité est égale à cinq quarts du rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à l'équateur.

Au même mouvement de rotation répondent deux figures diflerentes d'équilibre, mais l'équilibre ne peut pas subsister avec tous ces mouvements. La plus petite durée de rotation d'un fluide homogène en équilibre, de même densité que la moyenne densité de la terre, est de 0^,1009, et cette limite varie réciproquement à la racine carrée de la densité. Quand la rotation est plus rapide, la masse fluide s'aplatit à ses pôles; par là, sa durée de rotation devient moindre et tombe dans les limites convenables à l'état d'équilibre. Après un grand nombre d'oscillations, le fluide, en vertu des frottements et des résistances qu'il éprouve, se fixe à cet état, qui est unique et déterminé par le mouvement primitif; et, quelles que soient les forces primitives des molécules, l'axe mené par le centre de gravité de la masse fluide, et par rapport auquel le moment des forces était un maximum à l'origine, devient l'axe de rotation.

Les résultats précédents fournissent un moyen simple de vérifier l'hypothèse de l'homogénéité de la terre. L'irrégularité des degrés mesurés des méridiens laisse trop d'incertitude sur l'aplatissement de la terre, pour reconnaître s'il est tel à peu près que l'exige cette hypothèse; mais l'accroissement assez régulier de la pesanteur, de l'équateur aux pôles, peut nous éclairer sur cet objet. En prenant pour unité la pesanteur à l'équateur, son accroissement tu pôle est o,oo435 dans le cas de l'homogénéité de la terre : par les observations du pendule, cet accroissement 'ost

o,oo54; ia terre n'est donc point homogène. Il est, en effet, naturel de penser que la densité de ses couches augmente de la surface au centre; il est même nécessaire pour la stabilité de Téquilihre des mers que leur densité soit plus petite que la moyenne densité de la terre; autrement, leurs eaux agitées par les vents et par d'autres causes sortiraient souvent de leurs limites, pour inonder les continents.

L'homogénéité de la terre étant ainsi exclue par les observations, il faut pour déterminer sa figure considérer la mer comme recouvrant un noyau dont les couches diminuent de densité du centre à la surface. Clairaut a démontré dans son bel ouvrage sur la figure de la terre que l'équilibre est encore possible , en supposant une figure elliptique à sa surface et aux couches du noyau intérieur. Dans les hypothèses les plus vraisemblables sur la loi des densités et des ellipticités de ces couches, l'aplatissement de la terre est moindre que dans le cas de l'homogénéité, et plus grand que si la gravité était dirigée vers un seul point : l'accroissement de la pesanteur, de Téquateur aux pôles, est plus grand que dans le premier cas, et plus petit que dans le second. Mais il existe entre l'accroissement total de la pesanteur prise pour unité à l'équateur, et l'ellipticité de la terre, ce rapport remarquable, savoir, que dans toutes les hypothèses sur la constitution du noyau que recouvre la mer, autant l'ellipticité de la terre entière est au-dessous de celle qui a lieu dans le cas de l'homogénéité, autant l'accroissement total de la pesanteur est au-dessus de celui qui a lieu dans le même cas, et réciproquement; en sorte que la somme de cet accroissement et de l'ellipticité est toujours la même, et égale à cinq fois la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, ce qui pour la terre revient à nb-

En supposant donc la figure des couches du sphéroïde terrestre, elliptique, l'accroissement de ses rayons et de la pesanteur, et la

diminution des degrés des méridiens, des pôles de Téquateur, sont proportionnels au carré du cosinus de la latitude, et ils sont liés k Tellipticité de la terre, de manière que l'accroissement total des rayons est égal à cette ellipticité; la diminution totale des degrés est égale à Tellipticité multipliée par trois fois le degré de Téquateur, et l'accroissement total de la pesanteur est égal à la pesanteur à l'équateur, multipliée par l'excès de rà-ri sur cette ellipticité. Ainsi l'on peut déterminer l'ellipticité de la terre, soit par les mesures des degrés, soit par les observations du pendule. L'ensemble de ces observations donne o,oo54 pour l'accroisse* ment de la pesanteur de l'équateur aux pôles; en retranchant cette quantité de 'Y^^ on a ^^-^ pour l'aplatissement de la ten-e. Si Thypothèse d'une figure elliptique est dans la nature, cet aplatisse* ment doit satisfaire aux mesures des degrés; mais il y suppose, au contraire, des erreurs considérables, et cela, joint à la difficulté d'assujettir toutes ces mesures à un même méridien elliptique, semble indiquer une figure de la terre plus composée qu'on ne l'avait cru d'abord, ce qui ne paraîtra point étonnant, si l'on considère l'irrégularité de la profondeur des mers, l'élévation des continents et des îles au-dessus de leur niveau, la hauteur des montagnes et l'inégale densité des eaux et des diverses substances qui sont à la surface de cette planète.

Pour embrasser avec la plus grande généralité la théorie de la figure de la terre et des planètes , il fallait déterminer l'attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère, et formés de couches variables, de figure et de densité, suivant des lois quelconques; il fallait encore déterminer la figure qui convient à l'équilibre d'un fluide répandu à leur surface, car on doit imaginer les planètes, recouvertes comme la terre, d'un fluide en équilibre, autrement leur figure serait entièrement arbitraire. D'Alembert a donné, pour cet objet, une méthode ingénieuse qui s*étend à un grand nombre de cas; mais elle manque de cette simplicité si désirable dans

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des recherches aussi compliquées et qui en fait le principal mérite. Une équation, remarquable aux différences partielles et relative aux attractions des sphéroïdes, m*a conduit, sans le secours des intégrations et uniquement par des différentiations , aux expressions générales des rayons des sphéroïdes, de leurs attractions sur des points quelconques , placés dans leur intérieur, à leur surface, ou au dehors; des conditions de Téquilibre des fluides qui les recouvrent, de la loi de la pesanteur et de la variation des degrés à la surface de ces fluides. Toutes ces quantités sont liées les unes aux autres par des rapports très-simples, et il en résulte un moyen facile de vérifier les hypothèses que l'on peut faire pour représenter, soit les variations observées de la pesanteur, soit les mesures des degrés des méridiens. Ainsi Bouguer, dans la vue de représenter les degrés mesurés en Laponie, en France et à l'équateur, ayant supposé que la terre est un sphéroïde de révolution sur lequel l'accroissement des degrés du méridien , de Téquateur aux pôles, est proportionnel à la quatrième puissance du sinus de la latitude , on trouve que cette hypothèse ne peut pas satisfaire à l'accroissement de la pesanteur, de l'équateur à Pello, accroissement qui, suivant les observations, est égal à quarante-cinq dixmillièmes de la pesanteur totale, et qui n'en serait que vingt-sept dix-millièmes dans cette hypothèse.

Lies expressions dont je viens de parler donnent une solution directe et générale du problème qui consiste à déterminer la figure d'une masse fluide en équilibre, en la supposant douée d'un mouvement de rotation et composée d'une infinité de fluides de densités quelconques, dont toutes les molécules s'attirent en raison des masses et réciproquement au carré des distances. M. Legendre avait déjà résolu ce problème, par une analyse fort ingénieuse, en supposant la masse homogène. Dans le cas général, le fluide prend nécessairement la figure d'un ellipsoïde de révolution dont tovt^s les couches sont elliptiques, et diminuent de densité, tandis

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2go EXPOSITION DU SYSTEME DU MONDE.

que leur ellipticité croît du centie à la surface. Les limites de Taplatissement de l'ellipsoïde entier sont -|- et y du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à féquateur; la première limite étant relative à l'homogénéité de la masse, et la seconde se rapportant au cas où, les couches infiniment vobines du centre étant infiniment denses, toute la masse du sphéroïde peut être considérée comme étant réunie à ce point. Dans ce dernier cas, la pesanteur serait dirigée vers un seul point et réciproque au carré des distances; la figure de la terre serait donc celle que nous avons déterminée ci-dessus; mais, dans le cas général, la ligne qui détermine la direction de la pesanteur depuis le centre jusqu'à la surface du sphéroïde, est une courbe dont chaque élément est perpendiculaire à la couche qu'il traverse.

L'analyse dont je viens de parler suppose le sphéroïde terrestre entièrement recouvert par la mer ; mais , ce fluide laissant à découvert une partie considérable de ce sphéroïde, cette analyse, malgré sa généralité, ne représente pas exactement la nature, et il est nécessaire de modifier les résultats obtenus dans l'hypothèse d'une inondation générale. A la vérité, la théorie mathématique de la figure de la terre présente alors plus de diflicultés; mais le progrès de l'analyse, surtout dans cette partie, fournit le moyen de les surmonter et de considérer les continents et les mers» tels que l'observation les présente. En se rapprochant ainsi de la nature, on entrevoit les causes de plusieurs phénomènes importants que l'histoire naturelle et la géologie nous offrent, ce qui peut répandre un grand jour sur ces deux sciences, en les rattachant à la théorie du système du monde. Voici les principaux résultats de mon analyse. L'un des plus intéressants est le théorème suivant, qui établit incontestablement l'hétérogénéité des couches du sphéroïde terrestre :

« Si , à la longueur du pendule à secondes , observéïe sur un « point quelconque de la surface du sphéroïde terrestre, on ajoute