TOME III

de la moyenne distance de la terre au soleil » à celle de la planète; ainsi Ton a

a\iw=a\6"', a''.i4w=a'.i'", a".4w=a'.6'", etc.

ce qui change la fonction [A) dans celle-ci, -7.m*a\(^^3^-sin.(î— m)v -J- fe^*^sin. 2(1— m)v j 6^^'^8in.3(i— m)i; j

ce sont les seuls termes sensibles qui peuvent résulter de l'action directe de la planète P sur la lune.

Mais Taction du soleil sur la lune peut rendre sensibles, dans le mouvement de ce satellite, les perturbations du rayon vecteur de Torbe terrestre, dues à l'action de P sur la terre, et y produire des inégalités du même ordre que celles que nous venons

de considérer. Pour le faire voir, considérons le terme

qui, par le n** 6, fait partie de la seconde des équations (L) du

p n"* 1. Soit — .Z.cos, (ê'ji"f — êw'f^-B), un terme quelconque de

— r, résultant de laction de P sur la terre, nt exprimant le

moyen mouvement de P, et nt étant celui de la terre; le terme

Su' P correspondant de — r sera 7 . Â^.cos. (êVf — 6ji'f-+-B) ; ainsi le

terme — y^ — ^ produit le suivant,

Sr'

Si Ton ne considère que les inégalités de — r » indépendantes des excentricités des orbites, et quon les représente par la série

m' • l^K^'K COS. 3 [n^t—nt-i- e"— c') -t- etc. j '

ie tonne , J ^ produira dans le second membre de Inéquation (jL') du n*" 9, la fonction

3m" P ( Jr^*^cos.(i — m) i; -h Â^^'^ COS. 2(1 — m)v\ 2a 'm''|-h^^*^cos.3(i — m) v H- etc. )'

d*où résulte dans a S a, la fonction

3m* P (jfiL^^î.cos.fi— to)v JC<*).cos,2(i— m)v JSlW.cos.3(i— m)v

' ^^ — ' ^ — \ r—, — T' — ^+etc.

1— |m*— (î— m)* I -7m»— 4(i— m)« i— -m*— 9(1— m) et par conséquent, par le n** 15, dans nf-f-e, la fonction

3m« P ( Ji:<^).sin.(t-m)i; \K^').s\n.2[i-m)v |iLt^).sin.3(i-m)i; \ .

fonction du même ordre que celle qui résulte de Faction directe des planètes sur la lune. Nous allons déterminer ces diverses inégalités, pour Vénus, Mars et Jupiter.

Relativement à Vénus, on a, par le n* 23 du sixième livre,

d'où l'on tire, par les formales du n" 49 du second livre,

Les observations donnent i — m == 0,0^67900; en supposant donc, comme dans le n° 22 du sixième livre,

la fonction [B) réduite en arcs de cercle devient

-h i",78i7o6.sin. [i — m)v

-l-o",746665.sin.2(i — m)v

-f-o\4o575i.sin.3(i — m) v etc.

Ce que nous désignons ici par — r est désigné, dans le n"" 29 du

sixième livre, par 8r ; on a donc par ce numéro, en vertu de Faction de Vénus,

— 0,00000600 1 2 . COS. ( i — m)v H-o,ooooi7i43i.cos.2(i — m)v -t- 0,000002 707 2 . C0S.3 (i — m)v -h etc.

La fonction (D) réduite en arcs devient ainsi

-f- i*',38524i.sin. (i — m) v

— 1^991 770. sin.2(i — m) t;

— o'',2i2o5A*sin.3(i — m)v etc.

En la réunissant à la précédente, on a pour les inégalités lu-

naires dues aux actions directe et indirecte de Vénus sur la lune,

-h3",i669A7-sin. (i — m)v

— i\245io5.sin.2(ï — m)v

-i-o",i93697.sin.3(i — m)v

etc.

Il faut, par le n** 44 du sixième livre, augmenter ces inégalités, dans le rapport de i,0743 à Tunité.

Relativement à Mars, on a, par le n** 23 du sixième livre,

a=o,6563oo3o, 6^;) = 6,856336,

fc^) = 5,727893,

èf^=:4,4o453o,

etc.

6';>=38,oo346, fc("=36,2ooi3.

d'où Ton tire

Les observations donnent i — m= — o,o35o3o6; en supposant donc, comme dans le n"* 22 du sixième livre,

m' 1846082' la fonction (C) devient

— 0^090054. sin. (i — m)v

— 0^034753. sin.2 (i — m) V

— 0^,01 72 34- sin.3(i — m) v etc.

On a ensuite, par le n"" 29 du sixième livre, en vertu de Taction de Mars,

-f- 0,0000006487. COS. (i — m)v -4- 0,0000080620. cos.2(i — m)v

— 0,0000006475. cos.3(i — m)v etc.

La formule (D) réduite en arcs devient ainsi

-f-o",i690i2.sin. (i — m)v -t- i",246244"Sin.2(i — m)v

— 0^,067 1 39. sin.3{! — m)v etc.

En la réunissant à la précédente , on a pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Mars sur la lune,

-4-o'',o78958. sin. (i — m) v

-f- 1",2 o 1 49 1 . sin. 2 (i — m ) v

— o",o84373.sin. 3(/ — m)v etc.

Il faut, par le n** 44 du sixième livre, diminuer ces inégalités, dans le rapport de 0,726 à Tunité.

Relativement à Jupiter, on a, par le n** 23 du sixième livre,

fef;)=z2, 176460,

etc.

d où i on tire

fe';'=i,i33io.

Les observations donnent i — m= — 0,068^952; en supposant donc, comme dans le n** 22 du sixième livre,

m' 1067,09' la fonction (C) devient

— 0^2 1 7267. sin. (i — m)v

— o^o2 638o.sin. a(i — Tn)v

— 0^008936. sin.3(i — m)v etc.

On a, par le n*" 29 du sixième livre, en vertu de Faction de Jupiter,

-+- 0,0000 159384. COS. (i — m)v

— 0,0000090986. COS. 2(1 — m)v

— o,oooooo655o.cos. 3(1 — m)v etc.

La formule (D) réduite en arcs devient ainsi

-f- 2^51 9556. sin. (i — m)v

— 0^729560. sin. 2(1 — m)v

— o\o35879.sin. 3{i — m)v etc.

En la réunissant à la précédente, on a pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Jupiter sur la lune,

-h 2'\3o2 299.sin. (i — m)v

— o",75594o.sin. 2(1 — in)v

— o",o398i5.sîn. 3(i — m)v etc.

Si Ton prend avec un signe contraire toutes ces inégalités résultantes de Faction des planètes sur la lune, on aura les inégalités que cette action produit dans l'expression de la longitude vraie de la lune; on pourra donc les réduire en tables, en observant que (i — m) V peut être supposé égal à la longitude moyenne de la planète, moins celle de la terre. Il serait utile de les employer dans les tables de la lune, vu la précision à laquelle ces tables ont été portées.

Le terme . ' ^ de l'expression de — -p. (-t— ) donne, dans l'équation (L') du n"* 9, le terme

j .c.cos. [cv — 'CTj;

d'où il est facile de conclure que la valeur de c est diminuée, par l'action d'une planète inférieure à la terre, de la quantité

et par l'action d'une planète supérieure, de la quantité

Pareillement, le terme ' ^ donne, dans Téquation [L') dun^'O, la quantité

.e.cos. [cv ^),

qm.u\ — r

ir . . .

— r étant ici la partie constante des perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre, donnée par le n"" 29 du sixième livre; la valeur de c est donc par là diminuée de la quantité

9m* Sr'

il est facile de s'assurer que toutes ces quantités sont insensibles. Considérons présentement les perturbations du mouvement lunaire en latitude. La somme des termes

J (dQ\ (1+55) (dQ\

qui font partie de la troisième des équations (L) du n"* 1, acquiert, par l'action de P, la quantité

3P.5 ^P.Rr.S.cos.{v-v')-iP.R'S.cos.(v'-U)

Cette fonction contient, relativement à une planète inférieure, le terme

|a.P.^.ja6^;^-6<;^j.X.sin.(t;--0);

X étant l'inclinaison de l'orbite de P à l'écliptique, et 6 étant la longitude de son nœud ascendant. Il en résulte dans 5, pour une planète inférieure, l'inégalité

! — 1 î.L.X.sin.(j;-0);