CHAPITRE V

SUR INE INÉGALITÉ k LONGUE PERIODE, QUI PARaIt EXISTER DANS LE MOUVEMENT DE LA LUNE.

27. Nous avons remarqué dans le commencement de ce livre que le moyen mouvement de la lune, conclu par la comparaison des observations de Flamsteed et de Bradley, est sensiblement plus grand que celui qui résulte des observations de Bradley comparées aux observations de Maskeline; et que les observations faites depuis quinze à vingt ans indiquent dans ce mouvement une diminution plus grande encore. Cela semble prouver qu'il existe dans la tliéorie de ce satellite une ou plusieurs inégalités à longues périodes, dont il est important de connaître la loi. En examinant avec la plus scrupuleuse attention cette théorie, on voit que l'action des planètes ne produit aucune inégalité semblable, comme on peut s'en convaincre par l'analyse exposée dans le n**21; mais l'attraction du soleil produit dans l'expression de nt+e, une inégalité proportionnelle au sinus de l'angle

3r— 3mr+3cmr— 2^v— cv + 2 0+tar— 3«'.

Les termes qui composent cette inégalité sont très-petits dans les équations différentielles ; mais quelques-uns d'eux acquièrent par les intégrations successives, le diviseur (3-^3m+3cin— 2 jf — c)*, et ce diviseur peut les rendre sensibles, par son excessive petitesse. Pour déterminer ce diviseur, nous observerons que l'on a, par le nM6,

3 — 1 (j — c=o,ooo4o859.

De plus, le mouvement annuel du périgée solaire étant, par le n^ 25 du sixième livre, égal à 36",88a43, on a

1 — c' = o,ooooo922o35; d où Ton tire

3 — 3m-f-3c/ii — 2 g — c=o,ooo4o652; et par conséquent

(3 — 3 m-f- 3 c m — 2g — ^)* = o,oooooo 16626.

A la vérité, on a vu dans le n"* 5, que le carré du coefficient de Fangle v ne peut pas, en vertu des intégrations successives, être diviseur de Tinégalîté correspondante, lorsque l'on n a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice ; mais cela cesse d'avoir lieu pour les termes dépendants du carré de cette force, et l'inégalité dépendante de 3v—3mi;+3cmt;— 2^1;— cv+aô+tar— 3^17' ne peut résulter que de ces termes. Pour le faire voir, considérons le terme 3affndt.dR de l'expression de Sv, donnée par la formule [Y) du n*" 46 du second livre : ce terme paraît être celui dont l'inégalité que nous considérons doit principalement dépendre. Le développement de R donne des termes de la forme

fl^. cos,(37if — 3 7i'fH-3cVt — 2gnt — c/i(H-2 0-h2 tff — 3^®').

Si ces termes ne résultent que de la première puissance de la force perturbatrice, nt et cnt se rapportent aux coordonnées du soleil, et alors la difiFérentielle àR, qui ne se rapporte qu'aux coordonnées de la lune, devient

*Ji&~(3— 2^— c).n(/^ff.sin.(3nf— 3n74-3c7i'f— 2^nf~cnf+20+«--3tîT'). La double intégrale Saffndt.dR acquiert le diviseur (3 — 3 m H- 3 c' m — 2 g — c)*,

m étant par le n** 4 égal à — ; mais elle a pour facteur, 3 — q^ — c,

qui est à très-peu près égal à3 — 3m-+-3cm — 2 g — c; ainsi elle doit être considérée comme n'ayant que le diviseur 3 — 3m-+-3c'm — 2g — c, ce qui ne paraît pas suffire pour la rendre sensible. Si le terme précédent de l'expression de jR résulte du carré de la force perturbatrice, c'est-à-dire, de la substitution des termes de r et de V, dépendants de cette force; alors les coordonnées de la lune renferment les angles nt et en t. Supposons, par exemple, que la partie — 2nt de l'angle — 3nt dans ce terme de JR, dépende des coordonnées de la lune; on a dans ce cas

dJR = — (3 — 2 m — 2 g — c) xifncZt.sin.(3fif — 37i'f4-3cVf— 2^/if— c/if+2Ô+tîT— 3^©'),

et le terme Za.ffndt.àR donne dans l'expression de la longitude de la lune, le suivant,

3a.(3— 27W— 2(/— c).7i*//.sin.(3nf— 3n'/+3c'7i'/— 2^nf— cn^+2Ô-hBr— 3flr')

(3— 3w+3c'm- 2(j—cY

qui peut devenir sensible par l'extrême petitesse de son diviseur. Les termes de ce genre sont en très-grand nombre, et il est difficile de les déterminer avec exactitude; mais il suffit d'être averti de la possibité de l'inégalité qui en résulte, pour suivre sous ce point de vue les observations. Cette inégalité doit être appliquée au moyen mouvement, et par conséquent à l'anomalie moyenne. La théorie indique encore une inégalité dont la période est à très-peu près la même que celle de l'inégalité précédente , et qui dépend de l'aplatissement de la terre. On a vu dans le n"* 20 que l'expression de Q contient le terme

or on a par le même numéro

(i=s. COS. X H- y 1 — ss. sin. X. sïn.fv; de plus on a

ce qui donne dans Q ou dans — R, la fonction

(i*9 — *P)- — • ®'- (^ — i^')- sî^*- ^- ^s. 2/1;.

Cette fonction produit, par son développement, des termes dépendants de Tangle

ifnt-^nt — nt-hcnt — 2gnt — C7if-h2 0-h« — tff';

ils sont analogues à ceux que donne la fonction R, relative à l'action du soleil, et qui dépendent de Tangle

3nf — 37i'f-t-3c7if — ignt — cnt-h^O-h'Cf — 3«';

le coefficient du temps t est à très-peu près le même dans ces deux angles qui, maintenant, vu la position du périgée solaire ^ diffèrent peu de 200 degrés. Tous les termes de R se rapportant ici aux seules coordonnées de la lune, si Ion représente par

K.sm.[iàfnt-hnt — nt — ont — 2gnt — cnf+20-t-tîT — tff'),

le terme dépendant de l'angle précédent, que donne le développement de jR; ce terme acquerra dans la différentielle dR, le facteur (2/-hi — m-hc'm — ig — c).n; et par conséquent il n'aura pour diviseur, dans la double intégrale Za.ffndt d/î, que la première puissance et non le carré de cette quantité : l'inégalité correspondante à ce terme ne paraît donc pas devoir être sensible. Le terme de la forme Y^'^ qui, comme on l'a vu dans le troi-