CHAPITRE VI
Di:s VARIATIONS SECULAIRES DES MOUVEMENTS DE LA LUNE ET DE LA TERRE, QUI PEUVENT ÊTRE PRODUITES PAR LA RESISTANCE D»UN FLUIDE KTHÉRÉ RÉPANDU AUTOUR DU SOLEIL.
29. Il est possible qu'il y ait autour du soleil un fluide extrêmement rare qui altère les moyens mouvements des planètes et des satellites; il est donc intéressant de connaître son influence sur les mouvements de la lune et de la terre. Pour la déterminer, nommons Xy y, z, les coordonnées de la lune, rapportées au centre de gravité de la terre; et oc y j, z, celles de la terre, rapportées au centre du soleil. La vitesse absolue de la lune autour du soleil sera
Supposons la résistance que la lune éprouve égale au carré de cette vitesse, multiplié par un coeflicient K qui dépend de la densité de Téther, de la surface et de la densité de la lune. En la décomposant parallèlement aux axes des Xy des y et des z, elle produit les trois forces suivantes,
— -^'(^jj+^^) .sl{àx^dxy^ ^ciy^dyY-^ [dz-^ dz)\
— ^'^^l^^^\ \J[dcô-^dxY^[dy^
— ^'^^'^^'^^K \/{dx^dxy-^{dy--hdyy^
Mais la terre étant supposée immobile, dans la théorie lunaire, il
faut transporter en sens contraire à la lune la résistance qu elle éprouve, et qui, décomposée parallèlement aux mêmes axes, donne les trois forces
—K. ^ . \/dx^ -h (// -4- dz'^ ,
— K.^.\/dx^^dy^-V^dz\
K' étant un coefficient différent de JST, et qui dépend de la résistance éprouvée par la terre. Ayant donc représenté par (x^)» 'T) ^* ("3^/ ' ^^^ forces qui sollicitent la lune parallèlement aux axes des a?, des y et des z, on aura, en n'ayant égard qu'aux forces précédentes,
- K . (^^'j^/^) . ^ [dx'-hdxY-h {dy'-^ dyY-h {dz-\- dzy ,
—K. ^^y-^^fy^ ,y/{^ix'^dxy-^{dy-hdyy-h- {dz'-\-dzy ,
— -g ' ^'^^y ^ ^ ' V {d^'-^ dxy^ [dy'-h dyy-h [dz'-hdzy .
Maintenant on a , en ne faisant varier que les coordonnées de la lune,
En substituant pour x, y, z, leurs valeurs — —^ — '—^ -, données dans le n^ 2, on aura
or on a
en comparant ces deux valeurs de dQ, on aura
\ds) u'\dz)'
d'où l'on tire
On a par le n° 2
, cos.î;' , sin.i;' , s'
V étant ici la longitude de la terre vue du soleil. Si Ton prend pour plan fixe celui de Técliptique en 1760, on pourra supposer 5=0. Représentons par rdq' le petit arc décrit par la terre dans Tinstant dt, et qui est égal à \Jdx*-\- dy^-^-dz^ : cet arc est à celui
que la lune décrit par son mouvement relatif autour de la terre, à très-peu près, dans le rapport de — à Tunité, et, par conséquent, trente fois au moins plus considérable ; on a donc à fort peu près
S/{dx'^dœY^{dy-i-dyY-^{dz'^dzy=rd<,'-^ ^ + T^-
Si Ton néglige Texcentricité de Torbe terrestre, on a dq=mdt,
le temps t étant représenté par le moyen mouvement de la lune.
On a ensuite
dx . , dy' ,
— rj-T = — sm. V , — rrr = COS. V ;
rdq rdq
et, par conséquent,
\J[dx+dxY+[dy+dyY+[dz+dzY=zmadt--dx. sm.v + dy. cos. v'.
De là il est facile de conclure
dQ\ {K-K').m\s\n.v' ^K.m dx K.m dx , K.m dy .
dxj u* 2u dt 2tt dt 2u dt
dQ\ (K'-K).m\cos.v SiT.m dy K.m dx . , K.m dy
ayj u* lu dt 2u dt 2u dt * (dQ\ K.m dz
et par conséquent, en substituant pour x et j leurs valeurs, et négligeant le carré de lexcenlricité de l'orbe lunaire,
— (^\l (dQ\ {K'-K).m\sin.{v--v') 3K.m du \du) u\ds) ttMi'» "^ 2u\u
K.m dv . / A K.m du , ,v
--7.-Tr-sm.(2i; — 21; ) — -, .-7-.cos.(2!; — 21; ),
2tt'.tt dt ^ ' 2tt*.tt dt ^ '
(dQ\ dv IK'-K).m\dv , n 3K.m , dv
-r-)-— 7 = -^ 7~ .COS. (r — V) ; — T*dv.-j-
\dv ) «• ii'«. a* ^ ' 2tt.tt* dt
K.m j dv I t\ K.m ^ du . » ,^
r— i.av.-TT- COS. (21; — 2V ) H 7— .av.-T-. sm. (2V — 2t;),
au.u* dt ^ ' 2U.U* dt ^ '
Toue m. 44
/dQ\ du^ j K'-K). m' du , ^,. SK.m da
\dvj'u*dv «'*.«* ' (/v ' '^ ' 2u.u^' dv
K.m du / M
r— T. j--.cos.(2V — 21; .
2tt.u* dv ^ '
La valeur de K n'est pas constante : si Ton suppose la densité de Téther, proportionnelle à une fonction de la distance du soleil,
en désignant par ^ (u ) cette fonction, elle sera, relativement à
a'* la lune, pour laquelle ù devient vl .cos. (t; — v),
<^[n) . ^'(11'). COS. (y — v),
^'^) étant la différentielle de <p[xi]^ divisée par àù; ainsi l'on pourra supposer
^=R9(a')— :^.(p'(«').cos.(t;— r).
Cela posé, si l'on néglige les quantités périodiques autres que les sinus et cosinus de cv — tar, on aura
ld(X\ dv H.m*dv ^,, ,. SH.m ^t ,k j dv
En substituant -. ji+e. COS. (cw—^)j pour a, ett/u.ji— 2e.cos.(ct;— «r)j pour dl, on aura
r(dQ\ dv Mj , i3.<p(o') -,, ,,
— .(^[u) — 2m.^'(u')|.e.sin.(ct; — tsr).
On aura ensuite
(§)-=^ = ■^•'•■- j^ -™.f («')j...sin.(o.- «),
Soit donc
il faudra ajouter au second membre de la seconde des équations (L) du n"* 1, et par conséquent au second membre de Téquation (L) du n* 9, la fonction
