TOME III

nœuds. M, Lagrange a donné depuis longtemps à l'expression différentielle du grand axe la forme dont je viens de parler, et il en a conclu d'une manière très-heureuse l'invariabilité des moyens mouvements, lorsque Ton n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices; invariabilité que j'ai reconnue le premier, en ne rejetant que les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, ce qui suffit aux besoins de l'astronomie. J'ai donné dans le second livre de la Mécanique céleste la même forme aux expressions dififérentielles de l'excentricité de l'orbite, de son inclinaison et de la longitude de ses nœuds. Il ne restait donc qu'à donner la même forme aux expressions différentielles des longitudes de l'époque et du périhélie : c'est ce que je fais ici.

Le principal avantage de cette forme des expressions dififérentielles des éléments est de donner leurs variations finies, par le développement seul de la fonction que j'ai nommée R dans le second livre de la Mécanique céleste. En réduisant cette fonction, dans une série de cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, on obtient par la diflférentiation de chaque terme les termes correspondants des variations des éléments. Je m'étais attaché à remplir cette condition, dans le second livre de la Mécanique céleste; mais on y satisfait d'une manière encore plus générale et plus simple, au moyen des nouvelles expressions de ces variations. Elles ont de plus l'avantage de mettre en évidence le beau théorème auquel M. Poisson est parvenu sur l'invariabilité des moyens mouvements, en ayant égard au carré des masses perturbatrices. Dans le sixième livre de la Mécanique céleste, j'ai prouvé, au moyen d'expressions analogues, que cette uniformité n'est point altérée par les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; ce qui était d'autant plus important que j'ai fait voir dans le même livre que ces grandes inégalités ont une influence considérable sur les variations séculaires des orbites de ces deux

planètes. La substitution des nouvelles expressions dont je viens de parler montre que runiformité des moyens mouvements planétaires n est troublée par aucune autre inégalité périodique ou séculaire. Ces expressions me conduisent encore à la solution la plus générale et la plus simple des variations séculaires des éléments des orbes planétaires. Enfin elles donnent avec une extrême facilité les deux inégalités du mouvement lunaire en longitude et en latitude, qui dépendent de l'aplatissement de la terre, et que j'ai détenninées dans le second chapitre du septième livre. Cette confirmation des résultats auxquels je suis parvenu sur cet objet me paraît intéressante, en ce que leur comparaison avec les observations donne l'ellipticité de la terre, d'une manière au moins aussi précise que les mesures directes, avec lesquelles ils sont aussi bien d'accord qu'il est possible de l'espérer, vu les irrégularités de la surface de la terre.

Dans la théorie des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, que j'ai donnée dans le livre VII, j'ai eu égard aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. M. Burckhardt avait calculé les termes dépendants de ces puissances; mais j'ai reconnu depuis que l'inégalité résultante de ces termes avait été prise avec un signe contraire. Je rectifie donc à la fin de ces recherches les formules des mouvements de Jupiter et de Saturne, que j'ai présentées dans le chapitre viii du dixième livre. Il en résulte un léger changement dans les moyens mouvements et les époques de ces deux planètes; et ce changement satisfait à l'observation qu'Ebn-Junis fit au Caire, en l'an 1007, de leur conjonction mutuelle, observation qui ne s'écarte plus des formules que d'une quantité beaucoup moindre que l'erreur dont elle est susceptible. Les observations anciennes citées par Ptolémée sont également représentées par mes formules. Cet accord prouve que les moyens mouvements des deux plus grosses planètes du système solaire sont maintenant bien connus, et n'ont

point éprouvé, depuis Hipparque, d'altération sensible: il garantît pour longtemps l'exactitude des tables que M. Bouvard à construites d'après ma théorie, et que le Bureau des longitudes vient de publier.

Dans la même séance où j'ai présenté ces recherches au Bureau des longitudes, M. Lagrange lui a pareillement communiqué de savantes recherches qui ont rapport à leur objet. Il y parvient, par une analyse très-élégante, à exprimer la différence partielle de R, prise par rapport à chaque élément, par une fonction linéaire des différences infiniment petites de ces éléments, et dans laquelle les coefficients de ces différences ne sont fonctions que des éléments eux-mêmes. En déterminant au moyen de ces expressions les différences de chaque élément, on doit, après les réductions convenables, retrouver les expressions très-simples auxquelles je suis parvenu, et qui, tirées de méthodes aussi différentes, seront par là confirmées.

1. Je reprends l'expression de ede, donnée dans le n*" 67 du second livre du traité de Mécanique céleste. En faisant pour simplifier, (x=:i, elle devient

ede=2andt.\J \ — e'.(-^J — a.j[i — e*).d/?:

dans cette équation, ( est le temps; nt est le moyen mouvement de la planète m; a est le demi-grand axe de son orbite; e en est l'excentricité; v est la longitude vraie de la planète; R est une fonction des coordonnées des deux planètes m et m, telle qu'en nommant Xy y, z, x\ y, z, ces coordonnées, on a

p étant la distance mutuelle des deux planètes, et par conséquent étant égal à \J[x — «;)*-+-(/ — ;y)'-+-(2' — 2)*» ^' est le rayon vec-

358 MÉGANIQUE CELESTE.

L'anomalie u de l'excentrique est donnée en fonction de Tanonialie vraie r — tar, au moyen des équations

d'où Ton tire

— — ^^ T^ — \ = û- 1 — ^. COS.M ;

i+e.cos. (v— -cr) ^ *

e + COS. ( v— Bf)

cos.u^— \ ,

1+e.COS. (v— tar)

V/i—c*.sin.(î;— ty)

sm. 11= -I ■ ) ^;

l + ^.COS. (v— or)

par conséquent

ed'o ^ ^ . de. sin. a i , .

. 2.C0S. u— e— ecos'. u\ . \'2 — e' -ecos. u\

^ ji+c.cos. (v— tyjj*

; !2+e. COS. (v— «r)i 1 . / X

1 — f?* . ) yTZ'de. sin. (v—'cr .

i+e.cos.(i;--ty)j' ^ ^

Substituant pour ed^ et (/e, leurs valeurs données à la fin de la page 397 du premier volume de la Mécanique céleste; le second membre de cette équation se réduit à

^andt.r(^-j^y, et comme on a '•(-j-) =^^'("^)' ^^ devient

l'expression précédente de de—d^ donne ainsi cette équation fort simple, que M. Poisson a trouvée le premier,

de = d^.{i-\/i^e')-{-2a\(^\.ndt.

Si l'on rapporte, comme on l'a fait dans le second livre de la Mécanique céleste, le mouvement de la planète m au plan de son orbite primitive, et que l'on fasse, comme dans le même ouvrage,

yj = tang. ^.sin. 0, ^=tang. (^.cos. 6,

(^ étant l'inclinaison de l'orbite, et étant la longitude de son nœud ascendant; on aura, par le n" 71 du second livre,

, dt fdR\

^ Va.(i-e') ^"^P I

Maintenant on a, par le n° 44 du second livre,

de plus, on a, par le n"* 64 du même livre,

da=^ — 2 a*. dR,

et 1^— | = -T-, parce que l'angle nt est toujours accompagné de

l'angle -l-e; en substituant donc au lieu de da, de, de, dp et dq leurs valeurs précédentes, on aura cette équation très-simple,

, andt.\/i—e' /(ffl\

€ \de /'

ce qui donne j andt.s/i'-e' , . -. /dR\ . /dR\ .

de= ^ .{.-v/.-^).(3;-)-M«".(3j-)-''*-

En réunissant ces diverses équations, on aura, en observant

que n = a ' ,

da= — 2a\â.R, (i)

, andt.yJi-e' , , -> /dR\ , fdR\ , • , v

de= } .(i v/i,.).^j Haa'.^^j.«rft, (a)

de= ±}l^.i.-y/Tr?).^R^^VEl,ndt.{§y (3)

et par là réduire les expressions précédentes à ne renfermer que des difierences partielles des éléments; mais il est aussi simple de conserver la différentielle àR.

Dans le mouvement considéré comme elliptique, on doit rigou-

reusement substituer fn dt, au lieu de n f; or n=a ' ; on a donc, en nommant ^ le moyen mouvement de la planète m,

^=.fndt='dffandt.dR. (7)

2. Ces équations mettent en évidence le résultat auquel M. Poisson est parvenu, sur l'invariabilité des moyens mouvements planétaires, en ayant même égard au carré de la force

perturbatrice. En désignant par la caractéristique S les variations finies, on aura, en ne faisant varier dans jR que ce qui est relatif

à la planète m, et en observant que (-t— ) = —j-.j

En substituant pour 5a, 8e, Star, etc. les intégrales des valeurs précédentes de da, de, rftar, etc. on aura

s«=i«,ja»*)+,„..|^,/w,.(^)-(^)./d«|

=Kf)-/-(f)-(f)-/-(w)!-

Pour avoir la valeur de d .

SB j- . S [fn dt) , donnée par cette

équation, il faut différentier par rapport aux seules quantités relatives à la planète m. Pour avoir la différentielle relative aux éléments de cette planète, il suffit de supprimer les signes/, qui n ont été introduits que par les intégrales des valeurs différentielles de ces éléments, et alors cette expression devient identique^ ment nulle; il suffit donc, pour avoir la différentielle d de la fonction hR j-. 5 [fndt) , de différentier par rapport à 7if les quantités hors du signe /. L'expression de cette fonction est composée de termes de la forme M.fNdt — N.fMdt; Met iV pouvant se développer en cosinus de la forme k.cos. [in t — int-i-Â), i et i étant des nombres quelconques entiers, positifs ou négatifs. Supposons que le cosinus précédent appartienne à M, et que