TOME m

362 MÉGANIQUE CÉLESTE.

k'.cos. {int — int-hA') soit le terme correspondant de N. Il faut combiner ces deux termes ensemble, pour avoir des quantités non périodiques dans à.[M.fNdt — N./Mdt); cette fonction devient alors

k.indt.sin.[ int — int - f- A ) .fkdt . cos. ( int — int-t-A') — k\ indt. sin. [int — int -A'). fkdt. cos. [int — int-^A ),

fonction qui, en eflFectuant les intégrations, se réduit à zéro; ce qui est conforme à ce que j'ai démontré dans le n° 1 2 du sixième livre, relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.

L'expression de d. 5/î -r-.hfndt est donc une fonction

périodique.

L'expression de à. —r .l.fndt\ ne renferme que des quantités périodiques; car on a

à.A'-^.h.fndt\=^ — j-.S./'/irf/H -j^.dt.hn.

[ndt ^ ) ndt ^ ndt

Substituant pour Sn, sa valeur 3fan.dR, on aura

d.\^^.hJndt\ = ian.^JfA

On peut réunir dans un seul terme tous ceux du développement de R, qui dépendent d'un même angle int — int, et il devient de la forme fc. cos. [int — int -h A). En le substituant pour R dans

les fonctions —jj.ffàR.dt, et —j-.fàR, on voit qu'elles se réduisent à des sinus du double de Tangle int — int-i-A; ainsi la diflférentielle d(— y . 5 .fndt\ ne renferme que des quantités périodiques; d'où il suit que d. S A ne renferme pareillement que des quantités périodiques, lorsque l'on ne fait varier dans 8R que les quantités relatives à la planète m.

Pour avoir la valeur complète de d. S ft, il faut encore faire varier dans 5jR ce qui est relatif à la planète m. Pour cela, nommons K ce que devient R relativement à la planète rn troublée par l'action de m; on aura

n/ m.[xx+yy'+zz') m

ainsi

La variation de R relative aux. variations de ce qui se rapporte à la planète m est donc égale à la variation du second membre de cette équation, relative aux variations des coordonnées de m. Désignons par 5' les variations qui se rapportent à ces coordonnées. On voit évidemment par l'analyse précédente que

i \ n at ^ J

se décompose en termes de la forme M.fNdt — N./Mdt. Pour avoir leur difiFérentielle par rapport à la caractéristique d, il faut ne faire varier que les quantités hors du signe intégral, parce que les quantités enveloppées par le signe intégral sont relatives aux éléments de la planète m. Soit donc k.cos.[int — int-hA), un terme de M, et k'.cos. {i'nt — int-hA') le terme correspondant deiV; il faut combiner ces termes ensemble, pour avoir des quantités non périodiques dans d.[M.fNdt — N./Mdt)-^ et alors il est faciie de voir que cette fonction différentielle n'en renferme point. On

s'assurera facilement que d.|-rj7.5'.//i'rfn n'en contient aucune,

^. J . /àR \

par le même raisonnement qui nous a fait voir qued.l— ^-.S.yhe/n

ne renferme que des quantités périodiques; ainsi d.S'Jfî' ne contient que des quantités semblables.

H nous reste à considérer la variation de

nommons P cette fonction. On a, par le n** 46 du second livre,

ddx mm' x m' (dR\ lîF ~ WT'~ M'\d^)'

M étant la masse du soleil. On a pareillement

mV m' ddx' m'* x m'

m X m ddx

J'\dx')'

r'^ ~ M' dV M ' r'' M

les coordonnées j, z, y, z fournissent des équations semblables, et il est facile d'en conclure

p m d[x dx—xdx+y dy—y dy'+z' dz—z d/) ^

Q étant une fonction en x, y, z, x, y, z, de Tordre du carré des masses m et m. 11 est clair que la variation

m' d. S' [x dx—xdx+y dy—ydy+z dz—zdz') M' di^ ' '

étant une difl'érence exacte, on aura/d5'P, en y changeant la caractéristique ci en d; et alors il est visible qu elle ne renferme dans l'ordre m que des quantités périodiques.

Le terme Q donnera dans JAP celui-ci /dQ: en n'ayant égard qu'aux quantités de l'ordre m* dans dQ, il suffit de substituer dans Q, au lieu des coordonnées leurs valeurs elliptiques, et alors /dQ ^e contient que des quantités périodiques. Ainsi /d. 5' P ne renferme que de semblables quantités. 11 suit de là que JA.hR ne contient dans l'ordre m que des quantités périodiques, en faisant varier dans R les coordonnées des deux planètes m et m.

S'il y a une troisième planète m, elle ajoute à fi la fonction

m\[xx''~\-yy''+z z") m^

ç! étant la dislance de m à m. La partie de fi, relative à l'action de m sur m, reçoit alors une variation dépendante de l'action de rn sur m. Cette partie de K est

la variation des coordonnées Xj y, z par l'action de m", y produit des termes multipliés par m ni y et qui sont fonctions des coordonnées elliptiques ^, j, z, et des angles rît et nt. Mais ces angles devant disparaître dans la partie non périodique de d/î, et ne pouvant être détruits par l'angle nty qu'introduisent les valeurs de Xj y y Zy il faut n'avoir égard, dans le développement de la variation de Ry qu'aux termes indépendants de nt et de nt. Ces termes seront de la forme m'rn'Xj X étant fonction des coordonnées de la planète m; ils introduisent dans /d/î, des termes de la forme mrnfàX, ou m'mXy qui ne peuvent donner que des quantités non périodiques de l'ordre mm y quantités que nous avons négligées dans/diî.

Pareillement, la variation des coordonnées Xy yyZy par l'action de m\ ne peut introduire dans la partie précédente de jR que les angles nt et nt; il ne faut donc considérer dans cette partie que les termes indépendants de nt, et par conséquent de la forme mm^Xy X étant fonction des seules coordonnées Xy yy z; ce qui, comme on vient de le voir, ne peut produire que des quantités négligeables. Ainsi, en n'ayant égard qu'aux quantités non périodiques de l'ordre m, dans /djR, on peut supposer que m" est nul, lorsque l'on considère la partie de R relative à l'action de m sur m; et Ton peut supposer m' nul, lorsque l'on considère la partie de jR relative à l'action de m" sur m : on vient de voir que dans ces deux cas la variation séculaire de JàR est nulle. Cette variation est donc généralement nulle, lorsque l'on considère les actions réciproques de trois, ou d'un nombre quelconque de planètes, si

Ton n'a égard qu'aux carrés et aux produits des masses perturbatrices, dans la valeur de àR.

Reprenons maintenant l'équation (7) du n** 1 ,

^ = i.ffandLàR.

Sa variation est

è^ = 3an.ffclt.d.hR-\^-3a\ff{ndt.dR.fdR).

On vient de voir que dSft est nul, lorsque Ton n a égard qu'aux quantités séculaires de l'ordre du carré des masses planétaires ; on a vu pareillement que dRfdR est nul, eu égard à ces quantités. En ne considérant donc que les quantités séculaires qui, par la double intégration , acquièrent un dénominateur de Tordre du carré des masses planétaires, on voit que la variation SC est nulle. Ainsi Ton peut assurer que cette variation, en ayant égard soit aux quantités séculaires, soit aux quantités périodiques, ne peut être que de l'ordre des masses perturbatrices ; résultat important auquel M. Poisson est parvenu le premier.

3. Considérons deux planètes m et m, en mouvement autour du soleil, dont nous prendrons la masse pour unité. Nommons v la distance angulaire de la planète m à la ligne d'intersection des deux orbites, v la distance angulaire de la planète m à la même droite; nommons encore y l'inclinaison mutuelle des orbites. En prenant pour plan des coordonnées l'orbite de m, et la ligne des nœuds des orbites pour axe des .r, on aura

x = r.cos.v, j = r.sin.v, z = o,

x = r . COS. Vy y= r. sin. v cos. y, z = r . sin. y . sin. v';

ce qui donne en faisant 1 — cos.y ^=i 2 .s\n\ \^y=è ;

=z — rr.jcos. [v —v) -b.sm.v.sm.v (— — ;^ '

' " Y/r*+r''— 3 rr' COS. (w'—v) +2 6. rr'. sin. w.sÎP*'

R, sous cette forme, devient indépendant du plan auquel on a rapporté les coordonnées. En le développant en sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps f , par la substitution des valeurs elliptiques de r, r, v, v, il devient fonction des distances moyennes nt-+-e,nt-{- e, des planètes à la ligne des nœuds; des distances des périhélies à la même ligne; des demigrands axes a et a; des excentricités e et e; et de ê ou de l'inclinaison mutuelle des orbites, 6 étant très-petit et de Tordre du carré de cette inclinaison. Sous cette forme R ne renferme point explicitement les variables p ei q ; mais on peut les y faire naître de la manière suivante.

Si au lieu de rapporter les mouvements des planètes à leurs orbites, on les rapporte au plan fixe de Torbite primitive de m, alors z ne sera point nul, et il sera égal k rs, s étant le sinus de la latitude de m, au-dessus de ce plan : en négligeant le carré des forces perturbatrices, on pourra négliger le carré de s; on aura ainsi, au lieu de R, la fonction suivante, que nous désignerons par R,

—^ . jcos. (v — V ) — €• sin. v. sin. v'+s. sin. y. sin. v \

y r*+r''— 2 r r . cos.(v'— v)-H2 €. r r\ sin.u. sin. w — 2 rr\ s.sin.y. sin. v

Retranchons de v et de v, tant dans R que dans R , la longitude d' du nœud de l'orbite de m avec m, cette longitude étant comptée sur l'orbite de m, ce qui revient à changer les origines des v et des v', et supposons

5 = ^. sin. {v—0') —p. COS. [v — 0');

on aura

i{= 11^. j (l -igj.cOS. («'-v)+|ê.COS.(«'+V-20')j

^ m'r ((i— Ye+77.sin.y).cos. (v~v)+(7e— 77.sin.y).cos.(u+w--2d^|

'''* I — Yp.sin. y.sin.(u— u)— 7p.siu.y.8in.(u+u~2Ô')

\ — 7p.sin.y.sin.(w— uj— 7p.sm.y.8in.(u+t;— 2Ô )

Maintenant, il est visible que Ton changera jR dans R, si Ton fait varier dans R, ê de J'ê, v de J^v, et 0' de 5 Ô', de manière que Ton ait

5ê = — ^. sin.y,

( 1 — -jê). h\j=::cos\\y.S\)=^ — Yp.sin.y,

ê. 5Ô' — yê. Sv = — y/), sin.y.

On aura ainsi

^=/?-9.sin.y.(^)-paang.iy.(^)-^.(^^

, , , /diîX rfiî (dR\ , . 1 X .•

on a par le n** 1 , 1^—) = —t. -h (-j— lî c^l^ pose, les équations

(5) et (6) donneront les deux suivantes :

, andt . /dR\ /qx

En réunissant ces équations aux équations (i), (2), (3), (4), (7) du n** 1, on aura, par la seule différentiation des termes du développement de /î, les termes correspondants de chacun des

éléments du mouvement de m; ce qui facilite extrêmement le calcul de ces difiFérents termes. Soit

mk. COS. [i'nt — int -+- i'e' — le — g^ — g^' — 2 g" 0' )

un des termes du développement de R; le terme correspondant du demi-grand axe sera

-rj—, — : — ./c.cos. [int — i/if-f-ie — le — gts — g^m — 2^ 0);

le terme correspondant du mouvement moyen sera

— rn—f — r-T-.a/c.sm. Unt — iTif-hie — le — q^ — ans — 20 ;

[i n—inf ^ j j j /

le terme correspondant de Tépoque sera

le terme correspondant de Texcentricité sera

m'n.V/i— «• , jfl + i (1— \/T^M| /v /^ . ., , . , , „^,. ^ .afc. '^ !; ; \ ^.cos. (i/if— mf+ie— le— ^ftsy— ^lar — 2^ );

celui de la longitude du périhélie sera le terme correspondant de p sera