CHAPITRE PREMIER
FORMULES DES INéCALITÉS PLANÉTAIRES DEPENDANTES DES CARRES ET DES PUISSANCES SUPÉRIEURES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS DES ORBITES.
Des inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités
et des inclinaisons.
1. Pour déterminer ces inégalités, je reprends Féquation du n** 46 du second livre,
On a par les n°' 20 et 22 du même livre,
r==a.{ i-hye* — exos. (/ifH-e — ^) — ye'. cos. [int-hie — 2^)\;
Téquation différentielle précédente devient ainsi
d* rSr o=— ^- — h/i'.rSr+3/i"a.5r.{^.cos-(/it+e-^BT)+e".cos.(Qnf4-2e— 2tar)j
Maintenant tous les termes de Texpression de R, dépendants du carré et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, peuvent être ramenés à Tune ou à l'autre de ces deux formes,
Af.cos.ji(7i'f — nt-he' — e)-h2 nf-f-JTj, N.cos.\i[nt — nt-hc' — ^)-+-L\, i étant susceptible de toutes les valeurs entières positives et néga-
tives, en y comprenant zéro. Considérons d'abord la première
forme : elle donne dans a-Zd/ÎH-rJ-^— j, la fonction
.•„'-V.°„ -A^+«-(f)H-i-("''-"'+^-^)+'»'+-gi-
On a vu, dans le second livre, que la partie de — , qui dépend
des angles i[nt — nt-he — e) et i{nt — nt-h-e — e)-+-/if-f-c, est de celte forme,
F.cos.i{nt—nt+e'—e) + eG.ces.\i[nt—nt+e-'e)+nt+e—^\
+ e H. COS. \i{nt'-'nt+e'—e) + nt+e-'a'\; la fonction
3 n' a. S r. je. COS. [nt-+'e — ^)-h-e\cos. (anf-f-^e — 2^)\ produira donc la suivante,
± , , i{F+G).e\cos.\i[nt—nt+e''-e) + 2nt+2e-2^\)^
ainsi, en n ayant égard quaux termes dépendants de Tangle i[nt — 7ifH-e' — c)-l-2 nt, et en observant que si Ton fait (x=i, ce qui revient à prendre pour unité de masse celle du soleil, en négligeant la masse de la planète, on a n*a^=i\ l'équation différentielle en rhr devient
^^d\rSr^^,^^^^^ ^^^^^ ((F+G).^.cos.{i(7i^f~7if+e^--e)+27if+2e--2>sy{) dt' ' ^' [+H.ee\cos.\i{nt--nt+e'-'e) + 2nt+2e—^^&\)
d'où l'on tire en intégrant,
'^ , i{F+G). e\ cos.\i [nt—nt+e'— é) + 2nt+ 2e — 2^\) [+H.ee.cos.\i[nt'-nt+e — e)+2 Tif+ae— 'cr— 'Ct'j|
a'~ j, •„'+(3,-)„j.|, •„'+(!,•)„ I îW
Si cette expression de — ;- est considérable, et si l'un des diviseurs in'-f-(3 — i)n, in'-f-(i — i)n est très-petit, comme cela a lieu dans la théorie de Jupiter troublé par Saturne, lorsque l'on suppose i= 5,2» étant à très-peu près égal à 5 n'; la variabilité des éléments des orbites a une influence sensible sur cette expression : il importe donc d'y avoir égard. Pour cela, nous mettrons l'équation diflFérentielle en rèr, sous cette forme,
o= — ^T^ hn\r^r-hn*.a*,P.cos.\i[nt — nt-+-e' — e)-\-2nt-\-2e\
-hn*.a\F.sm.\i[n't — nt-he' — cj-f-anf-hacj.
En l'intégrant et négligeant les termes dépendants des difitérences secondes et supérieures de P et de P', nous aurons
rSr n*
a* {»ii'+(3— i)B}.{in'+(i— i)n|
{P+ f /, /., M I r /. / — T-i .cos.{i(«'f-Rf+e'— e) + 2nf+2el ( {in+(j— i)n}.jin-(-(i— i)nj) ' ^ ' '
j , ^ 2.{i(«-n)+2nj.-^ n '
\ ( {in+(3— i)nj.|in+{i— ijBJ) ' ^ ' '
La formule (F) du n"46 du second livre deviendra, en y faisant ft=i,
l i.djrSr) ^ ( {F+ G). e*. sin. j i [nt-nt+e'-e) + 2nt+2e-2'es\) a\ndt '*(+ff.ce'.sin.ji(n'f-nf+e'— e) + 2»f+2e-'Br-'Br'jj
JdM\
\ (lin+(a— i)n|* in+(a— ijn) ' ^
1+ >• >. / \ ,. -a^+ . /, . ^ ./ .sin.{i(n7-nf+e-e)+2raf+J£'} 3i; ^ (i'"+(3-')"( tn+(2-i)it) ' V ^ )j
En donnant à i toutes les valeurs entières positives et négatives.
en y comprenant zéro, on aura toutes les inégalités dans lesquelles le coefficient de nt surpasse ou est surpassé par celui de nt de deux unités.
Si le coefficient i7i'-t-(2 — i)n est très-petit, et si cette inégalité est très-sensible, comme cela a lieu dans la théorie d'Uranus troublé par Saturne, alors on mettra la partie de JR, dépendante de Tangle i[nt — nt-he — e)H-2Jif-+-2e, sous la forme suivante:
Q.cos.\i[nt — nf-4-e' — e)-h2/if-f-2ej -l-Q'.sin.{i(7i't — 7if-he' — e)-f-2nf-+-2e},
et Ton aura
dQ
3 a. ffndt. dR = ,. >7/ Vi. • Q + ^-rn — ^ • sin. I i(ni-nt+e'—e)+2 nt-\-2 e \ •'•' jjn4-(2— i)nj* ( in+[2—i)n) ' v / ' ' *">
la formule {Y) du n"" 46 du second livre donnera ainsi
^ 2.d[rSr) ^ ((F+G).e*.sin.{f (nf— nf+e'- e) + 2 7if+2e-"2tg} | ,j^ ^~ a\ndt ^*(+£f.^^'.sin.{i(7i'(— n( + e'— e)+2nf+2e~'CT~i0'j( ^ ^
dQ' . / JQ \
( (6-3iW ( ,. ^^' dt ] ^^^\da)) ^ rt u . ^ \ (jm+(2— ijnj* ( in+(2— i)n) in + (2— i)n) ^ ^ ' '
dQ . /dQ'\
(6-— 3i)/ï" ( r^r dt \da I) i-i u . f \
({m+(2— ijnj* I i/i+(2— ijn iw+(2— i)/i) ^ ^ ^ >
Je supprime pour plus d'exactitude le diviseur yi — e" dans cette expression de hv, parce que ce diviseur n affecte point, comme on l'a vu dans le n"" 65 du second livre, la partie de cette expression qui a pour diviseur le carré de in-h[i — 1)71; et dans le cas présent, cette partie est beaucoup plus grande que les autres.
De plus, en vertu du même numéro, il faut appliquer cette partie de 5î; au moyen mouvement de la planète m; et comme elle est à fort peu près égale à l'inégalité entière dépendante de l'angle i[nt — nt-he' — e)-f-27iï-+-2e, on peut appliquer cette inégalité entière au moyen mouvement de m.
On aura les valeurs de -rr-» -rr-i -jt ^t -^» en différentiant
dt dt dt dt
les expressions de P, P\ Q, Q, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, aux positions de leurs périhélies et de leurs noeuds, et en substituant au lieu des différences de ces
quantités, leurs valeurs. Maïs on aura plus simplement ces va-
dP leurs de -jr » ^tc. de la manière suivante. On déterminera la
valeur de F, pour une époque éloignée de deux cents ans, de la première époque à laquelle on fixe l'origine du temps t. En nommant P, cette valeur, et T l'intervalle de deux cents années, on aura
^- dt ~^' ^•
On aura par le même procédé les valeurs de -^, -^, -j—.
Pour conclure l'expression de — , de celle de — p-, nous désignerons par -^, la partie de — qui dépend de l'angle i(/i'f— nf+e— e) + 2nf+2e, et nous aurons
-î — h F. cos-jï (n7-nf+e'--e)+eG.cos.|i(n f-7if+e'--e)+nf+e--izrj )
+ éH. COS. { i (n f— nf+e- e)+nf+e— tir'} ) d'où Ton tire
— ^ = -^^ +|. (F+2G).e*.cos. ji (nf— nf+e'-e)+2nf+îîe-2«} + y. ee. H. COS. \i (/î'(— n(+ e'— e) + 2n/+ 2e — 'cr— is/j.
