TOME III
2. En considérant delà même manière les termes dépendants de l'angle i[nt — nt-he — e)» et supposant que l'on ait, en ne portant l'approximation que jusqu'aux premières puissances des excentricités ,
Sr
— =FxosÀ[nt'-nt+e'—e)+eG.cos.\i[nt--nt+e--'é) + nt+e'-^\
+eG\ COS. j— /(/l'f— nf + e—e) + nf+e— «rj + eH . COS. { i[nt—nl+ e ~e) + nt+e-^'\ + e'H" . COS. { — z (/l'f - nf + e -e) + wf+e-ts/j ,
i étant ici positif; on aura
[ UG+G). e\ COS. i {nt-nt+e—e)
i^ (+HW.cos.ji(7i'f— 7if+e— e) —^+^1 4-n*. a\(-^j ?^.aiV .cos.ji(/i'f— /if+e--e)+L}]
rSr
a' ^in'^{i+i)n\.\in-{i—i)n\
dlrSr] l(G^~Gf')-^'-sin.i"(/i'f-nf+e'-e) ^/^^^^ +Y']+£rgg.sin.{i(yt'f--7if+e'— e) + tg--izr'{|
Sv =
//^e'.sin.j i(7i'f — /if+e'~e)— 'BT+tïT'j
r-7 — . a*. ( -T~ 1—7^-7 r-r; .uN . Sm. l f/l f — flf +6 — £) +1/
yji—e*
Si l'on désigne par — ^ la partie qui dépend à la fois des carrés
des excentricités et des inclinaisons des orbites, et de l'angle i{nt — nf-i-e' — e), on aura
-^ = ^+|.{Gh-G'— Fj.e*.cos.i(/i'f— /if-+-e'— e)
-+'\.H.ee.cos.\i{nt — nt-he — e)-f-t!r — tff'} -hY'H'.ee.cos.\i[nt — /if+e' — e) — tff-l-tff'l : dans ces trois expressions î doit être supposé positif.
3. Le grand nombre des inégalités dépendantes des carrés des excentricités et des inclinaisons ne permet pas de les calculer toutes: on se dirigera dans leur choix par les considérations suivantes, 1*^ Si la quantité iV-h(2 — 1)71 diffère peu de ±71, alors Tun ou Tautre des diviseurs in' -h (3 — i)n, et in-h{i — i)n de la formule [A) du n"" 1 est peu considérable, et par là cette formule peut acquérir une valeur sensible, a ° Si la quantité in -h (2 — i)n est peu considérable, les termes de la formule (C) du même numéro qui ont celte quantité pour diviseur peuvent devenir sensibles. 3** Si la quantité i[n — n) diffère peu de ±n, Tun ou Tautre des diviseurs in — (iH-i)7i, et in — (i — 1)71, de la formule [E) du numéro précédent, est peu considérable, et par là cette formule peut acquérir une valeur sensible, à"" Enfin, si la quantité i{n — n) est peu considérable, les termes de la formule (F) du numéro précédent, qui ont ce diviseur, peuvent devenir sensibles. Il faut donc calculer avec soin toutes les inégalités assujetties à Tune de ces quatre conditions.
4. Les quantités F, G, G\ H, H", sont déterminées par les approximations développées dans le second livre : nous allons déterminer M et N. Pour cela, reprenons la valeur de R du n*" 46 du second livre,
r étant ici le rayon vecteur de m. Prenons pour plan fixe celui
de Torbite primitive de m, et pour ligne des abscisses x, la ligne
des nœuds de Torbite de m avec ce plan. Si l'on nomme v l'angle
formé par r et par cette ligne, v l'angle fonné par celte même
ligne et par r, et y la tangente de l'inclinaison respective des deux
orbites , on aura
a; = r.cos.i;, y=r.sin.v , 2=0,
f , , , r'.sin.v' , r'y. sin.v'
a?=r. cos.r, y=-7=:» 2; = — ^nzz^z ,
ce qui donne, en négligeant les quatrièmes puissances de y,
ll = — 7p. COS. [v — v) 7^.-7^-{cos. (v — v) — COS. [v-hv)]
m' m'y* rr'. j ces. (v'—v)— ces. (v'+v)}
Vr*— 2rr'. cos. (v'-v) +r'- ^ | r«— 2 r r'. cos. (v- v) +r'* j"«"
Supposons, comme dans le n*" 48 du second livre,
-77. COS. (n'f— n<+e— e)— |a*— 2aa'.cos.(n'f— nf+e'— e)-l-a'*j '
=|.S .it'l cos.i(n'«-nf+e — e) ,
ja'- aaa. cos. (re'f- nf+e -e) + a'j ' =1.2 .£''1 cos. i(«'f-nf+e -e) ;
et représentons Af. cos. j i (n'f — nt-\- e' — e) -t- 2 nf -f- X } , par
Af"". e'.cos.{i(n'< — n«-he' — e)-h2nf-t-2e — aisj -f-il/<". ec'. cos.{i [n't — nt-he — e) -i-2nf-H2e — tj — -©'1 H-ili"<*'. e''.cos.ji(n'f — n«-he' — e)-h2nt-h2e — 2'zs'\ -l-M'".7'.cos.{i(7i'f — nt-he' — e)H-2«fH-2e — 2 II},
n étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m', sur celle de m, comptée de la ligne où l'on fixe l'origine de nt-\-e. On a par le n" 22 du second livre,
- = i-h\e* — e.cos. (nt-he — 'cr) — \e\ cos. [2nt-h2e — a'cr),
v = nt-he — n-f-2e.sm.(nt-he — 'cr)H--|-e'.sin. (2nf-j-2e — 2^);
ce qui donne les valeurs de -7 et de v, en marquant d'un trait les
quantités n, e et e. On a ensuite, par le n° 48 du même livre, le produit de 2.il^'\cos.{i(/i'f — nt-he — e), par le sinus ou le cosinus d'un angle quelconque /t-f-/, égal à
