X.AK'}^^\i{n't-nt-i-e'-e)-^ft-^Il

De là il est facile de conclure

et dans le cas de i=i,

Il a* o

Représentons N. cos. \i{n't — n f -+- e' — e ) -+- L | , par les termes suivants ,

N^'Kcos.i{n't — nf-f-e' — e)

'+-N^'Kee.cos.\i{nt — nf-he' — e)-h« — tff'j -hN^*Kee.cos.{i{nt — nf-j-e' — e) — tff-f-tîy'j;

nous aurons iV.-.=-^.j(.-+/-).J4.-.i"-'-.<..(^)-«-.(!^)}-f««'.|B*-'+B"-'|j.

i étant supposé positif et plus grand que zéro, dans ces trois dernières expressions. Dans le cas de i=i, il faut ajouter à N^'^ le

mV a

terme 7— . -7- .

Il est plus commode pour les calculs numériques de n avoir

dans les formules que les différences relatives à Tune ou à lautre des deux quantités a et a . On trouve alors par le n*" 49 du second livre,

iV...= ^.j(,.-.,.(„-.,.i--.«.(4^)-a-.(4^)|.

iV»=^.|(„>,).(,.+.).^— .(^)-«'.(^)j.

5. Le cas de i=o mérite une attention particulière. Reprenons la formule [T] du n"* 46 du second livre, et considérons

d'abord le terme —^ — '- — --^ '- — -, de l'expression de c/Sv, donnée par cette formule. On a par le n^ 53 du même livre , et en n'ayant égard qu'aux termes affectés de l'arc de cercle nt.

1 — A. sin. (/if-f-e) — /. cos. (/i(-+-e),

^=^.{lC-^rD).nt.sm.{nt-^e)

— '!^.{hC-]-k'D).nt.cos.{nt-he);

ce qui donne, en ne considérant que les termes dépendants des carrés et des produits de h, l, h!, ï, et indépendants des sinus et cosinus de nt-l-e, et de ses multiples.

On a ensuite, par les n°* 19 et 20 du second livre,

r* dv=a^ndt. y/i — e";

on aura donc

On a par le n° 55 du second livre

partant

i^îj::^r^r:M=±d,.n..,).{h'+i']-E3-{hK+in\-

Considérons ensuite le terme -^ — 4 , de la même formule {T).

Si Ton n a égard qu aux quantités séculaires dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, on aura, par l'analyse du numéro précédent,

+ ^.aa'.B^'K\{p'-py+{<l'-<iy\,

p, p, (j, q\ exprimant les mêmes choses que dans le n"* 51 du second livre. De là il est facile de conclure, par les n*" 55 et 59 du second livre,

an. d3jR=<iA.j— (o..). A-h0. /i'|-l-rf/.j— (o.,). /h-(^. /'}

-\-{o,x).d]).[p — /)')-f-(o,i).rf^. (^ — (().

Le second membre de cette équation devient nul, en vertu des équations [A] et (C) des n**" 55 et 59 du second livre; on a donc

an. d. 5jR=o;

d'où Ton tire, en observant que 7i'a'= i,

3dt.fdt.dSR Zm'gdt

m g étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale fà. BR.

X, , , -vif*- dt\{2rSR'+R'Sr)

11 nous reste a considérer la tonction ^ — ^ qui

entre dans l'expression de d^v, donnée par la formule [T) du n'' 46 du second livre. En négligeant le carré de la force perturbatrice, cette fonction se réduit à '\ ,^' — , ou par le nu-

2a\l—j — j.ndt méro cité , à ^ ^ . Cette quantité produit d'abord le

mndt.a'l-j—] ^ , ,.

\aa I • • .^ \ 1 • • ôm.qat , i terme ^ — ^, qui, ajouté à celui-ci, ^ égal

yi-T* na'.yji—e'

à '—~r- , à cause de n" a' = i , le détruit , parce que

g = — T^'(~/ — )» parle n° 50 du second livre. Reprenant ensuite l'expression précédente de SR, nous observerons que la fonction

^. aa'. JB^'M (/>—/>)•-+- (7 — 7)'j -4- etc.

est égale à une constante indépendante du temps t, puisque sa différentielle est nulle en vertu des équations (C) du n° 59 du second livre; et si l'on ne considère que les deux planètes m et m', comme nous le ferons dans ce qui va suivre, (p' — pY-^W — 9)*

est, en vertu des mêmes équations, une quantité indépendante du temps; la fonction précédente ne peut donc produire dans

2 ndt.a\i-^ — I

— ^— — ^ , qu une quantité pareillement indépendante du

temps, et que l'on peut ainsi négliger, puisqu'elle peut êlre supposée se confondre avec la valeur de ndt. On aura donc, en faisant disparaître les difiFérences partielles de A^'^ et de A^'^ en a, au moyen de leurs valeurs données dans le n** 49 du second livre,

' 1 .I.V iP\\ 3 (ddA^'A , Jd'A^'^W Si l'on rassemble ces différents termes on aura

'''-^dt f,,, ^ .,,. ( . /rf^^n^/ 3 (ddA^'A^ . (d^A^^A)

m. ndt

On pourra dans cette expression négliger les termes indépendants du temps t. Il est facile d'en conclure l'expression de dhv'y en changeant ce qui est relatif à m, dans ce qui est relatif à nî, et réciproquement, et en observant que, quoique la valeur de A^'"^ relative à l'action de m sur m soit, par le n** 49 du second livre, différente de sa valeur relative à l'action de m sur m', cependant on peut, dans l'expression précédente, employer indifféremment Tune ou l'autre valeur. Mais on obtiendra plus facilement d.hv\ par la considération suivante. Si Ton ajoute la valeur de JSt;,

multipliée par msja, à la valeur de dhv, multipliée par rrîyjd.