TOME III
on aura, en substituant au lieu des différences partielles de A^""^ et de A^'^ en a, leurs différences partielles en a,
3 mm'
Si Ton ne considère que deux planètes m et m, la différentielle du second membre de cette équation est nulle en vertu des équa* tions (i) du n"" 55 du second livre; on a donc, en ne considérant que les quantités périodiques séculaires,
o =: m. \/a. dâv -h m \Ja. dâv ;
ce qui donne immédiatement Sv, lorsque Ton a déterminé Sv.
La valeur de dâv est relative à Tangle compris entre les deux rayons vecteurs r et r-h dr. Pour avoir sa valeur relative à un plan fixe, nous observerons que par le n** 46 du second livre, si l'on nomme dv^ la projection de dv sur ce plan, on a, en négligeant les quatrièmes puissances de l'inclinaison de Torbite,
dv=dv. i-h^s* — i
On a par le n° 53 du second livre
5 = ^.sin. (/if-4-e) — p. COS. (/it-4-e)H- etc. ce qui donne
^5== (n(j - -i\dt COS. [nt-^e)'+-\np+ jf)- ^'- sin. (nt-f-e) -+- etc.
on aura donc, en négligeant les quantités périodiques dépendantes de n^ et en observant que dv = ndt, à très-peu près,
dv=dv-^ ''^P-P'^'' :
ainsi, pour avoir la valeur de dSv^^ il faut ajouter à la valeur
précédente àe d.êv la quantité ^-^ — ^-^.
Si Ton ne considère que deux planètes m et m', on aura, par le n° 59 du second livre,
et le second membre de cette équation est égal à dt multiplié par une constante; en n*ayant donc égard qu'aux quantités périodiques séculaires, on aura
o=m. \/a. dâv^-hm. \a.dhv'^ ,
5v et hv'^ étant relatifs au plan fixe.
6. Considérons maintenant les inégalités du mouvement en latitude, dépendantes des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites; reprenons la troisième des équations (P) du n*' 46 du second livre,
ddz ti.z . fdR\
Prenons pour plan fixe celui de Torbite primitive de m, ce qui permet de supposer z nul dans (^— )• On aura par le n** 4, et observant que z=:rs,
\dz) -'•
^ j r*— a rr'. cos. [v'—v) + r''j «
l'équation différentielle en z deviendra ainsi
o= -r^ -hn'2.|i-l-3e.cos.(«t+e — «r)!
'' I r*— 2 rr'. COS. (t?'—v)+ r'*p
Représentons par
M.s{n,\i[nt—nt-]-e-e)+'int-rK\ + N.s\u.\i{nt--nt+e-'e)+L\^
la partie de
' I r'— 2 rr\ cos. (v -- v)+r'^j »
dépendante des angles ? [nt — nt-^ e—e) -h int, et / [nt — nt-r e — s) ; et supposons qu'en n'ayant égard qu'aux inégalités de z, dépendantes de la simple inclinaison des orbites, la partie de z relative à l'angle i[nt — nt-he — e)H-/if soit
y a F. shi. \i ( nt — n t-'r- e — e) r nt i- e — Il j ;
on aura, en ne conservant que les termes dépendants des produits des excentricités et des inclinaisons,
ddz . ^ „ r>\ smAi(nt — nt-^-e~e)-]2nt+2e — ^—U\
dv ' ^ ]^sin.\i{nt'-nt-\-e-e)+^-U\
-\-n*a\M.s\n.\i{nt-nt+e — e)+2nt+K\ + nV. N. sin. { i [nt — n f + e — e) -rL j ;
d'où Ton tire en intégrant,
i^ ' n\ ey. aF. sin.\i [nt — nt-he — e)-f-2nM-2e — © — Ilh ( -i-n'a\M.s\n.\i[nt — nt-he — e)H-27if-hA^} j
^"^ ' \in'—[i—i)n\.\in'—[i—'i)n\
(|. 71*. ey. aF. sin. j i [nt — nt-h e — e) -f-'cr — Il j j ( -hri'.a\N.sin.\i[nt — nt-he — e)-hL\ )
"^ \in'—[i-hi)n\:\in'—{i—i)^\ '
On aura la latitude s, en observant que
5= - =:-.ii -t-^. COS. (nt-he — tff)!;
ou aura donc s, en divisant l'expression précédente de z par a, et en lui ajoutant la quantité
\ey.F.sin.\i[nt — nt-he — e)H-27if-f-2e — izr — IIj -{-^ey.F.sm.\i[nt — nf-he' — ej-l-'cr — IIj.
Il ne s'agit plus que de déterminer M et N, ce qui sera facile en suivant l'analyse du n*" 4. Mais nous nous dispenserons de suivre ce calcul, parce que les inégalités de cet ordre en latitude sont insensibles, excepté relativement à Jupiter et à Saturne, à cause de la commensurabilité très-approchée de leurs moyens mouvements, et nous donnerons dans le n*^ 10 un moyen très-simple de déterminer ces dernières inégalités.
Si l'on rapporte le mouvement de m, sur un plan fixe très-peu incliné, à celui de son orbite primitive; en nommant (^ l'inclinaison de cette orbite sur ce plan, et 6 la longitude de son nœud ascendant, la réduction du mouvement sur l'orbite à ce plan sera par le n° 22 du second livre,
— -J-.tang/^.sin. (2 v^ — 26) — tang. (p. Ss.cos. [v^ — 0),
V étant le mouvement v rapporté au plan fixe. Ainsi le mouvement en latitude introduit dans le mouvement en longitude sur l'écliptique, des inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais ces inégalités sont insensibles, excepté pour Jupiter et Saturne.
En ne considérant que les quantités séculaires, et observant que
tang. (p.sïn.d=p, tang. ^.cos.0 = <3f,
on aura
ès = t. --^.sm.{nt-he) — t. ^.cos. (/i<-i-e).
Le lerme — tang. (p. 8s. cos. (r — d) donnera ainsi le suivant, l? P""P . 9i . çn sorte que l'on aura
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le numéro précédent.
Des inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites, et de leurs puissances supérieures.
7. Les inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites, sont susceptibles de ces deux formes,
M.sm.\i{nt — wf-f-e' — e)-t-3/i(-hÀ j , N. sin. j i[nt — nf-f-e' — e) -f-nf-f-L j.
On peut les déterminer par l'analyse dont nous avons fait usage dans les numéros précédents; mais comme elles ne deviennent très-sensibles qu'autant qu elles croissent avec une extrême lenteur, cette considération simplifie leur calcul. Reprenons la formule [Y) du n** 46 du second livre : on peut y négliger le terme
' / ,^ qui est alors insensible, à cause de la petitesse du coefficient de t, dans les inégalités dont il s'agit. Cette formule devient
ainsi
«"=- ^, -*-3«.//«</t.diî+,./„rf(.<,-. (-^) ;
le diviseur \/i — e* de cette formule devant être supprimé, pour plus d'exactitude, par le n"* 54 du second livre. Il faut de plus, par ce même numéro, appliquer dans la partie elliptique du
mouvement de m, ces inégalités, au moyen mouvement de cette planète. Cela posé, si Ton suppose
R=mP. sin. [i {nt—nt'+' e' — e)-f-37ifH-3e| -h m F. COS. \i{nt — nfH-e — e)-f-37if-h3e j,
ce qui comprend tous les termes de R, dans lesquels le coefficient de Tif surpasse ou est surpassé de trois unités, par celui de nt; on aura, par le n** 65 du second livre,
U.ffndtAR= ,^/f r'^l^f t.
