TOME III

ne produit aucun terme de Tordre des cubes des excentricités, et dépendant de l'angle 5nt — 2nt; il ne peut donc en résulter que de la partie

, -y- . y *. rr . COS. [v+v]

V/r*-2 rr'. COS. (t;'—v) + r'* | r*— 2rr'.cos.(t;'--t;)4-r'*}*

et alors les valeurs de P et de P' sont les mêmes, lorsque Ton considère l'action de m sur m, et celle de m sur m. Déterminons ces valeurs.

On a parle n** 22 du second livre, en ne portant la précision que jusqu'aux troisièmes puissances des excentricités inclusivement,

— Y^'-c^s- (3nf+3e— 3«), v = nt + e +(2 e — je').sh\. (/if + e — «)-!-- -^e^-sin. (2n( + 2e— 2^

+Hô\sin. (3nf+3e-~3tzr).

Gela posé, si l'on développe R suivant les termes dépendants de l'angle 5n'f — 2 nt, on aura une expression de cette forme,

R = M^'^ . e\ COS. [bnt —2nt-h 5e — 2 e — 3 'cr') -+- M^'K eV COS. [bnt — 2nt-h5e — 2e — 2tïT' — ia) -hM'^K eV. COS. [5nt — 2nt-\- Se — 2e — ^' — 2tzr) -hM^'Ke\ COS. [Snt — 2nt-hbe — 2e — 3'Ct) -+- M^'^ . ey. COS. {bnt —2nt-hS e'— 2c — «'— 2 H) -+-M^'Key\ COS. [5nt — 2nt-\-5e — 2e — ia — 211);

et l'on trouvera après toutes les réductions, «'M'-=-^.|389.6»+,o..o..^ + .7.a-..-jJl+«-.^j,

10 I J '^ da rfa* da'

a'Afw= — X. 306.^'*'+ i84.a. -^-^+tth.(t\— rr- +<»■'•— H-

10 1 ^ i. da da* da'

a'M'"= ■^. 38o.fc'" + i74.a. -j-^+a^.»'.— r-^+a'. -74-

40 / 1 ' da da» da'

, ( ' db^'^

76 •) 7-*':' + «--5^tî

de là on tire

m\aP=aW'K c\sm. ^^'-+^aWK eV sin. (q<ct'-+-«) -+- aM^'K ee\ sin. ('cr'-f- S'cr ) -h aM^'l é". sin. S'cr -j- aM^'K êy. sin. (2 H -H «') H- dW\ ey\ sin. (2 H -h 'cr) .

On aura m.aP', en changeant dans cette expression de m'.aP, les sinus en cosinus, et il sera facile de conclure les valeurs de aP

et de a F, en multipliant celles de a F et de aP, par — ou par a.

On aura ensuite, en faisant i = 5, dans les expressions de Sv et

de — du numéro précédent,

aF+7^-7 r-j, — Tr-T r— J- .sm.(5nï— 2/i<+5e— 2e)

J. 2a. dP' Sa.ddP ,. , , . , A

— aP— v^-, 7-^^ — TT-T r--T-- .cos.fônf— 27if+5e— 2 e)

( [on—2n).dt (5/1— 2 7i)*. a/*) ^ ^J

a*.(-j-|.cos. (5/i'f— 2nf+5e'—2e)i — a'.(-j-|.sin. (5nt— 2/if+5e — 2e)\

» — a\i-T- i.sm. (Dnt— 2/ir+De — 2ejj

— — .sin. (5n't— 2nf4-5e'— ae— tJ+A)

+-|-eJir.sin. {bn't- 4nf + 5e'-4e+'BT+ B) ,

— = Jï. COS. (5n'f- Snt + 5e'-3e +y4) - cH. COS. (5n'(- 2n(+ 5e'— 2 e — «j+il)

+eH.cos. (5/i't— 4nf+5e— 4c4-i!»H-i) hm'.n ( aP. sin. (5n'f— 2n£+ 5e'— a c)l 5 n'— 2 n ' j+aP'. cos. [bn't- 2nt+6e'— a e) j"

En supposant i= — 2, et changeant ce qui est relatif à m, dans ce qui est relatif à m, et réciproquement, on aura

1 ( ,,y 2a'. dP ^a'.ddP' i ' tr ,. ,. c / \i

, i5.m.n* ] j (5n— 2n).af [5n—in.y.dr) ^ '\

(5n'-2n)''] ( , 2a'.dP' 3a'.rfe/P ,(- /, , c / ^[

^ I — \aP-j7-, tj; — TT-' vT-rn -cos.fSnt-a/KH-ôc— ae

I I (5n— 2n).af (on — an)*, a/') ^ ']

a'*.(--j-r).cos. (5n'f— 27if+5e'— 2e)

f--a*.(-T-r).sin. (5/i'f— 2nf+5£'— 2e)

-\.etr.s\n.{bnt-2nl+oe-2e-^ + A') + |. c À''.sin.(3/i« -2/if + 3e-2e+«'+fi'),

— r=H'. COS. (Anf— 2nf+4e'— 2e+yl') —e'H'.cos. (5n7— 2nf+5e'— 2e— tar'+y4')

+ efr.cos. (3nf— 2;if+3e'— 2e+tar'+i4') io.7/în' j aP .sin. (5/i'<—2/iH- 5e'— 2e)| 5n'— 2 w ')+ a'F . COS. (5n ( -2nf + 5e'-2 e) ) '

H\cos.[/\nt — 2nt-{-^e—2e+A') étant la partie de — 7- dépendante de l'angle /int—2nt, et K\sm.[^nt—2nt + ^e — 2^-hB') étant la partie de 8v relative au même angle. Dans ces diverses inégalités, nous rapportons pour plus de simplicité Torigine des angles à l'intersection commune des deux orbites de Jupiter et

de Saturne, comme nous l'avons fait dans le développement de Texpression de /î du n** 4, et comme nous le ferons dans le numéro suivant. Nous ne conserverons ainsi que pour l'analogie Tangle H, qu'il faut alors supposer nul.

On déterminera de la manière suivante les difiFérences -r- ,

ddP dP' ddP' , , y, A ri .

-jrr^ -^T-, , : on calculera pour i époque de 1700, et pour

une époque plus éloignée de deux cents années juliennes, c'est-

, T r 1 1 1 ^^ d^ de' dfs dy cfll o •

a-dire pour 1900, les valeurs de -^, -^, -^, -^, 'Ji' 'Ji' ^^^^^^

df' lf^ "^' ^*^' ^^ valeurs pour la seconde de ces époques; on aura, en supposant que t exprime un nombre d'années juliennes,

de de dde

les difiFérences de et dde dans le second membre de cette équation étant relatives à 1760. L'expression de e, pour un temps quelconque t, est, en négligeant le cube de t, et ses puissances supérieures,

de. V dde

e-ht.

dt 1' dV

'^Tt

-7-, -T — , se rapportant à l'époque de 1 7 5o : cette expression peut

s'étendre à mille ou douze cents ans avant et après cette époque. On aura de la même manière les expressions de "cs, e, m\ y et H. On calculera par leur moyen les valeurs de P correspondantes aux trois époques de 1760, 2260 et 2760. Soient P, P , P^ ces valeurs ; l'expression générale de P étant

dt ' 2' dt

on aura, en faisant successivement f=5oo, /=iooo,

(It ■* ai* '

n dP , ddP j,

F -h IOOO.-t; h 1000000. -5-. -rrr- =^ /

dt ^ dV "

ce qui donne

JP iP-^SP^P^ ddP P -2P;hP

dt 1000 ' dp qSgooo

9. Les termes dépendants des cinquièmes puissances des excentricités peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; mais le calcul en est pénible par son excessive longueur. Son importance a déterminé Burckhardt, très-habile astronome, à l'entreprendre. Il a discuté avec une scrupuleuse attention tous les termes de cet ordre qui dépendent de Tangle bnt — 2nt, en se permettant seulement de négliger les produits des excentricités, par la quatrième puissance de l'inclinaison mutuelle des orbites: ce qui ne peut, en effet, produire que des quantités insensibles. L'expression de R du n** 4 est relative à l'action de m sur m : la partie de cette expression qui a le plus d'influence sur cette inégalité est le produit de m par le facteur

^.rr. jcos. (v'— v) — COS. (r + r)j

\l r*-^r r. cos. [v — v) + r' | r'—2rr'. cos. [v'—v) +r''\ ''

ce facteur est le même pour les deux planètes; en le développant, et en ne considérant que les produits des excentricités et

a'A'fi =

aN^'' =

des inclinaisons, relatifs à l'angle Sn't — 2nt, on a une fonction de cette forme ,

N^'K COS. {5nt — anf-i- 5 e' — ae— W-f-'cr) \ -f-iV'".cos. (5n'f— 2n<-l-5e' — ae — Sta') -f-iV'".cos.(5n'( — 2/if-f-5e' — ae — aW — «r) -+-N^'K COS. (bn't — anf-i-5e' — ae — W — a-cr) -f-iV'". COS. (bn't — anf-t-5e'— ae — S-o) -f-iV*".cos.(5n'f — 2nt-h5e — ae-h'or' — 4-©} I 7Vw.cos.(5r'«— a/if-h5e' — ae — 2ts'~hta—2U) -h N^'K COS. {5nt — anf-f-5e' — ae — «y' — alI) -h N^'K COS. [but — 2nt-\-be' — ae — <© — ail) -+- iV'. COS. ( bn't — an f H- 5e' — ae -h ta' — atï— a II);

et l'on trouve

rffcW

(idi'"

(f'fcC)

da'

-(aoa67.e'+24896.c').6<;'- (7aa3.c''+8i44. «').«. -^

768 •]+(io94.e'*+369a.e').a' + (4i.e'*+i4o.c*).a'.

rf'6'

d'fcC)

«i'few

da*

da'

a'iV'"=-

i-{i0939a.c''+53o64.e').6f;'- (42368. c''+ 23436. c'). a. -ji

768 • +(io64.e''+2o88.e').a'.-^^H-(i572.c''+i7io.c').a'.-^ + (i52.e''+ 1 92. e').tt*. ^^7 4-(4-e'+6.e').tt'.— g^ l 595.a. /è'" + 6<*'\ +245.a'.(— r^ + — ï-i

+^9-«:Ani^+^?^/+*-l^i^+^

a'iVw=

rf'6">

d'iw

768 •j-(64o.c'+297o.e'').a'.— ^+(864.c* + i854.e'').a'. -j^ l+(ii6.e'+ 2io.c'').a\ -^ +(4.e'+6.c'').a'.-^

d'tw d-ftC)

(/«fcw d>6W

dfc'"

a'iVW=-

-(ii84o.c*+ 162000. e'j.è"'- (656o. e'+65i68. e'*). «--^^

l 554.a./è'*'-hi'"\ + a22.a'.(--ji- + — jX

Ui448.6'" + i83Q2.a.— j^ + i78o.a'.— j-4-

768 j rf'fcC) d«6C) t/.ftC) (

a'/V")= ^ y' ) ± da

128 •) (f.ftw d'i^C

i-(i74.e'+i96.e'').a.6'^"-(5o. e'+i8o.e'').a*.-ji-|

128 ) rf'iw <i»6C) '

+ (i4.e"-e').a'.-^J-+(2.eVe').a\-^

d6<;' d'6<;' rf'è(;>

ri- -1580. a. 6"* + 86. a\— H^ -8a'.— j-i- -d'.—H-

aW^'î^z- ^'^y

Lorsque Ton considère Taction de rn sur m, il faut par le n*" 4 augmenter dans aN^'\ U'], de >, ou de— a, ce qui augmente

a'A'^"^ de ^rj . Lorsque Ton considère Faction de m sur