TOME III

m , il faut augmenter U'] ^ de j, ce qui augmente a'iV^*^ de

' . Cela posé, on multipliera les valeurs précédentes de

aN^''\ aN^'K etc. par m, et Ton décomposera chacun des cosinus quelles multiplient dans la fonction (0), en sinus et cosinus de bnt — 2nï-h5e' — 2e; ce qui donne à cette fonction la forme suivante,

m. aP^ . sin. [5nt — 2/if -h 5e' — 2c) -t- m. aP\ COS. ( 5nt — 27iZ-t-5c' — 2e).

On multipliera pareillement par m les valeurs de aN^^\ aN^'\ etc. relatives à l'action de m sur m, et Ton décomposera les sinus et cosinus de la fonction (0), en sinus et cosinus de 57i7 — 2nt-\-5e — 2e; ce qui lui donnera la forme suivante,

m.a'P^. sin. [but — 2nf-h5e' — 2e) -+- m. aP\cos.[bnt — 2nt-+- 5e' — 2e).

On substituera donc successivement ces valeurs dans les expressions de 5 1; et de 8v du numéro précédent, et Ton pourra négliger leurs différences secondes, à cause de la petitesse de ces quantités. On aura ainsi les parties des inégalités de Jupiter et de Saturne, relatives à l'angle &nt — 2nt, et dépendantes des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites.

On peut observer ici qu'en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne on a 3 1 2 5.»' = 5oo.

En effet, a'^—^; et de plus, on' est à fort peu près égal à 2/1, ce

qui donne --^=2-^. De là il suit que la valeur de aN^'^ est la

même, soit que l'on considère l'action de m sur m, soit que l'on considère Faction de m sur m. Ainsi l'on peut conclure la partie

précédente de hv, de la partie correspondante de Sr, en multi-

T . Il . 5/w. n * pliant celle-ci par ?— -.

10. Dans la théorie de Mercure troublé par la terre, il faut considérer l'inégalité dépendante de Fangle nt — ^nt, parce que le moyen mouvement de Mercure est à très-peu près quadruple de celui de la terre. En supposant que m soit Mercure, et m la terre , on aura l'inégalité dont il s'agit, en faisant i = 4» dans l'expression de hv du n** 7. Vu l'extrême petitesse de cette inégalité, on peut négliger les termes qui n'ont point (;i — an)* pour diviseur, et ceux qui dépendent de --j— et -^— . On aura ainsi

^ 3m'.7i' ( aF.sin.[nt — ^nt-he — l\e)

^~ {n-ànj' \--haP . COS. {nt — ànt-h- e — àe)

On déterminera facilement P et F, de cette manière : on calculera

r S r par la formule (A) du n"* 1, la valeur de — — correspondante à

l'angle ànt — 2nt, ce qui revient à faire i==4 , dans cette formule.

On aura ainsi une valeur de — — , de cette forme,

L. e* .COS. [^nt — 2nt-h^e — 2C — 2^) -h-U'.ee.cos. [^nt — 2/if-f-4e'---2e — « — ia') ■+'U*\ e\ COS. [knt — 2/if -4- 4c — 2C — 2«') -^U'Ky\ COS. (4/i'f— 27if-h4e'— ae — qU).

On observera ensuite que cette valeur de — ^ résulte des variations de l'excentricité et du périhélie, dépendantes de wf — knt dans l'expression elliptique de y . — : cette expression contient le terme — e.cos. (nf-he — m), dont la variation est

— he.cos. (/if-f-e — ^) — eâ'OT.sin. (/if-f-e — tsr),

^ m .an

•. m Mît

Se et 8^ élant les variations de e et de ^, dépendantes de nt—Ant On a par le n"" 69 du second livre

l-j-\ . sin. (4/i'f — nt-h^e — c) 1 [H-l-T- j.cos.(4/if — nt-h-ke — e)

(-T- I .COS. [[\nt — nt-hkt — e)

n—lxn ' 1 /(IP^\ '/if if \

I — ( 7—) • sin.(4/ii — nt-hfxe — e)

La variation de — e.cos. [nt-i-e — isr) devient ainsi

i l-i-] .sm.i2nt--^nt-\-2e — 4e' — tix) m .an ] \de ) ^ '

n — lxn ' ] [dP'\ I If I f \

\ — (-7—) .COS. (27if — knt-\-i^ — 4e — «)

Cette fonction est identique avec l'expression précédente de — j-; en changeant donc dans l'une et dans l'autre, 2 7i("4-- 2e, dans 7if-+-e-4-isTH — , TT étant la demi-cîrconférence, on aura

= L. e\ sin. (4/i'f -/i<4-4e'~e — 3tïT) -^U'K e e. sin. [fxnt—nt\- 4e — e — 'cr'- i^a) f-/>.e'. sin. [knt -nt-r[\s!—e - stzr'— 'cr) r U''"' . y *. sin. ( !\nt — n(+4e--e — 'cr— 211).

Si Ton intègre cette équation par rapport à e, et qu'ensuite on

]a multiplie par -—7-7, on aura

\L. e\sin. (4w'f — /if + 4e — e — S'Ct) 3/ï \+\L'Ke^e.s\xï. [l\nt — nt + [\e—e — 'cs'—i^)

n — lxn' j+ L".eÉ?'\sin. (4n't -7if+4e— e — 2'Ct'— 'cr) (' - L'^ey*. sin. [knt — nt+ke'—t — ^ — ^Jl)

Dans celte intégration , on néglige les termes de P et de P' dépendants de e' et de ey^\ mais Texcentricité de l'orbite de la terre est si peu considérable relativement à celle de Mercure , et l'inégalité dont il s'agit est si petite, que Ton peut les omettre sans erreur sensible.