CHAPITRE IL

DES INÉGALITÉS DEPENDANTES DU CARRÉ DE Lfi FORGE PERTURBATRICE.

12. Les grandes inégalités que nous venons de déterminer en produisent de sensibles, dépendantes du carré de la force perturbatrice : nous en avons donné les expressions analytiques dans les n°' 65 et 69 du second livre. Il résulte du n"* 65 du même livre que si Von désigne par H.sïn.[5nt — 2/if-h5e' — 2e-+-4) , la grande inégalité de Jupiter, on aura

-f.(^'"^-V'"'+j."'-V^).sin.2(5n-t-2«f-h5e'-ae-Hl)

Va'

pour l'inégalité correspondante de Jupiter, dépendante du carré de la force perturbatrice : cette inégalité s'ajoute , comme celle dont elle dérive, au moyen mouvement de la planète.

Pareillement, si Ton désignepar — jE/'.sin.(5/i7— 27if+5e'— ac+^l') la grande inégalité de Saturne, on aura

-^ . ^ ^ — — ^ — ^.sm.2 [bnt — 27if-f-5c — 2e -h A )

,\fâ

pour l'inégalité correspondante de Saturne, et qui doit être ajou«tée au moyen mouvement de cette planète.

Les variations des excentricités et des périhélies peuvent introduire de semblables inégalités dans les moyens mouvements des deux planètes. Pour les déterminer, nous observerons que l'on a, en n'ayant égard qu'aux cubes et aux produits de trois

dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites,

Sanî.ffi

o /./• 1 in /.///.il P. cos.(5wf— 2wf+5e — 2e) ) •'•^ ^^ — P.sin.{5nf— 27if+i>e -2e) r

ce qui donne dans 3a.ffndt.dR, la quantité

5e.|( j-Jxos.(5Rf— 2nf+5e— ae)— (^— |.sin.(5n'f--2nf+5e' +S«. (^|xos.(57i'f— 27if+5e'— 2e)~(^— ).sin.(5n'(--2nf+5e'

+Se. (•T-,Vœs.(5nV~2nf+5e~2e)— (T-rVsîn.fSrt'f— 27if+

.1 in ai .\ {/dP\ (dP'\

+5^0^^ ( ^, I xos. (5ii'f-^2 Rf +5e ~2 e)— ( j-r I . sin. (5/i'«—

-)-5y. (j-|xos.(5nf— 2/if+5e— 2e)~/Y^|.sin.(57i'f--27if+5e'

'Il

Se, 5«, (Je, eîtîT', (Jy, (îll étant les parties de e, tsr, e, «', y. Il , qui dépendent de langle bnt-;-2nt On a par le n** 8

\d^ ) \de ) \atEr / \de )

("3^) ""^'- (ï7") ' ("3^) = — ^'- (-ïT") '

\dli)-y\dy )' [dn)- ^'[dyy De plus, on a par le n*" 69 du second livre

(^|.cos.(5ii'f— 27i(4-5e'— 2e)— ( j-|.sin.(5nt— a?i/+5e'---ae)=: i ^7^ ■ ■ (j-J.sin.(5nV— 2iif+5e— 2e)4-(j— j.cos.(5/i'(— 2nt+5e— 2e)=

on a pareillement

(t— ,|.sin.(5nf— 2/ji+5e— 2ej+(y-r).cos.(5ii<---2/if+5e--aej=— ^ r-r-^.^^.

Pour avoir les valeurs de êy et de JTI , nous observerons que la latitude 5 de m au-dessus de Torbile primitive de m', est —y. sin. (v— H) ; ce qui donne

— Ss=^Sy. s\n. [v — II) — y.Sli.cos. [v — II);

or on a par le n** 71 du second livre

l (7—) • ^os. [hnt — 2/2t-4-5e' — 2e — vH-II) i / — (7—) -sin. (onf — 2/i/-h5e' — 2e — v-f-II) \

En comparant cette expression à la précédente on aura

^an \ (f?-)-sin.(5/i'< — 2n<-H5e-2e)i |-t-fn— ) .cos.(i)Mf — 27if-f-5e — 2e) 1

, l ("ï— I .COS. (ôn'f — 27if-+-5e' — 2e) j ^Py m an ] \rfy / ^ ^f

I — ("7~) -s^*^- (^^' — 2/if-h5e — 2ej 1

y exprimant l'inclinaison resjDeclive des deux orbites Tune sur Tautrc, et II étant la longitude du nœud ascendant de Torbite de m sur celle de m. Ces quantités varient encore par l'action de m sur m' ; en nommant S y et â,Il ces dernières variations^ et

représentant par S^ et ^^n, les variations précédentes dues à l'action de m! sur m, on aura

^ ma 71 ^ ^ ---. ma /i ^ „

Sy=— — .3 y, dn=— 7 — .5 II,

m an '*^ ' m an "

Cela posé, si l'on substitue ces diverses quantités dans la fonction (A), on trouve quelle se réduit à zéro. Les variations des excentricités, des périhélies, des nœuds et des inclinaisons des orbites, correspondantes aux deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, n'introduisent donc dans le moyen mouvement de Jupiter, et dans le grand axe de son orbite considérée comme une ellipse variable, aucune inégalité sensible dépendante du carré de la force perturbatrice; et il est visible que cela a encore lieu, pour le moyen mouvement de Saturne, et pour le grand axe de son orbite. 13. Considérons présentement les variations des excentricités

et des périhélies. Nous avons donné dans le n"* 69 du second livre

, . j . ^ ^ de d'à de' dvs ,

les expressions des accroissements ^^ "TTy 'ir^ 'jt^ -rr y dus aux

deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; et nous avons observé dans le même numéro que les variations de e, tsT, e, tsT', relatives à Tangle bnt — 2nt, introduisent dans ces expressions des variations semblables à celles qu'y produisent les deux grandes inégalités. En appliquant ces considérations à Jupiter et à Saturne, et désignant par he, et StsT, les variations dues au carré de la force perturbatrice, on trouve

— ^ V > — \-iii .cos.2 (5n f— 27if+5e'— ae)