TOME III
iw''.a'n' 5n'— an
MÉGANIQUE CÉLESTE.
( {dP'\ (ddP\ (dP\ /ddP;\ , (dF\ (ddP\ (dP\ ( ddP \ \ \\^)-\d^r\di}\de^j^\dy)\dedy) \dyl'\ded7]\
-7 — {w-A — T^ . COS. 2 [but— 2 nt+ 5e'— 2 e)
^/r / ^ ( .siD.2(5yi7— 2nf+5e— 2g) 2c.(on— 2n) ^ '
mmWnn'H/dP'X (ddP\ /dP\ (ddF\,(dP\ ( ddP\ /rfP\ / "^ 5n'-2B -j \rf7/ • \,rf6<fe7 \^(fe7 • [dede'l '^[dy )' [dedy ) \dy)'\
ddF \ dedy)
I \p(^\f(^\\ Va+2mVa^i I \ [de ) [de )\
m va
sin.2 [5nt—2nt+5e—2e)
{àn—2n).e
+ LAËLL, — i?^iZl.cos.2(5n'f-2nf+5e'-2e) a. (on— an) ^ '
{(dP\(ddP\ (dP\ {ddP'\ (dP\(ddP\ {dP'\ fddP'W , \\de)\de^)^\jr)\de^)^\^)'\dâ^)'^\dy)'\dedy)y^
.sin.2 (5n't— 2n(+5e'— 2e)
dp\
de)
— fi , ^ — r-.cos. 2 5nf— 2/ii+i)e — 2e) e.{5n— 2n) ^ '
nm\aann\t ( /^\ / ddP \ (dP\ ( ddP \ (dP\ ( ddP \ (dP\ ( ddP \ \ (5/i'-2n).e •( [de') ' [ dede') + [de') ' [dede')^ [dy)\dedy ) "^ [dy )\dedy ) \'
Les parties de ces expressions, proportionnelles au temps t, donnent les variations séculaires de l'excentricité et du périhélie, dues au carré de la force perturbatrice. Pour avoir les termes périodiques dépendants de ce carré, considérons le terme 2e. sin. (nf+e— tar), de Texpression elliptique de la longitude vraie. Si Ton désigne par 5e, et par Stsr, les variations de e et de tsr dépendantes de l'angle
bnt—2ni + 6e—2e, et qui sont dues à la première puissance de la force perturbatrice; et par 5'e et 5'tar, les variations précédentes de e et de « dépendantes du double de cet angle; si Ton désigne ensuite par Se la somme des deux inégalités de m. Tune dépendante de 5nt — 2nt-hbe — le, et Tautre dépendante du double de cet angle; le terme 2 ^. sin. [nt-he — tsr) devient
{2e'i-2âe-h28'e).sm.[nt-he-\-âe — tsT — â^ — eî'^nr);
et par conséquent, en négligeant le cube de la force perturbatrice, il se développe dans les termes suivants,
2 e.sin. (nf-f-eH-Se — tsr) -f- 2 èe. sin. [nt-he — tsr) — 2e. Star, cos. [nt-he — ta?) -h|2 5'e-+-2e. 5ttT. Se — e. (Staf)*j.sin. [nt-he — tsr) — \2e. S'tsT-t- qS^. StîT — 2 Se Sej. cos. [nt-he — tsT).
Le terme 2^.sin. (nf-f-e-f-Se — ^) est celui que Ton obtient en augmentant, comme nous le prescrivons, dans la partie elliptique, le moyen mouvement nt, de Se : les deux termes,
sSe.sin. [nt-he — tsr) — 2eS«.cos. [nt-he — tar),
forment Tinégalité dépendante de Tangle Snt — Snt-h^e — 5e', que donnent les formules du n"" 1. Si Ton substitue ensuite dans les autres termes, au lieu de S(?, et S'cr, leurs valeurs données par le n"* 69 du second livre, et au lieu de h'e, et S'tsT, leurs valeurs données par ce qui précède, leur somme donnera, en négligeant les termes dépendants du sinus et du cosinus de nt-he, parce qu'ils se confondent avec Téquation du centre,
rrn r,.^ — ^ ^ \ \PA'j-]-hP.['j-]\.cos.[bnt'-iont+be—ioe-'^)
rn'Ka'n' (5m\fâ+/im\/â') (n, /dP\ n fdP\) . ,r , t / x \ V ^^ V f )p\l\pi\[^^j^i^nt-iont+^e-ioe — ^).
Cette inégalité peut être mise sous la forme suivante : si Ion représente par K. sin. (5/i't— 3nt+ 5e'— 3e + J5), l'inégalité de m dépendante de 3nt—Snt+3e— 5e , et par H. sm.[Snt-'2nt+Se—2e+A)^ la grande inégalité, l'inégalité précédente sera, par le n° 69 du second livre,
j (ÔTW V/a + 4/w'V/a') jj^yr . /r ^ '* . c: ' d 1\
- - ^ ^—^.HK.sin.[bnt — io/if-f-5e — loe — B — A).
mm, ~5i
On trouvera pareillement, en n'ayant égard qu'aux variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice,
^ , 5m\a'n\t {om\/â+2myâ) (p fdF\ jy fdP\\
i\a''n\t UdP^ (ddP\ /dP\ (ddF\ (dP\ ( ddP \ (dP\ (ddP' \ bn'^2n '\\dc')\de'^) \de' )\de'^ )'^\dy )\de'dy] \dy ]\de'dyj
n'.aa'.nn'A \(dP\ ( ddP\ (dP\ (ddP' \ (dP\ [ ddP\ (dP\ fddP'\\ in'-2R '{[de )\dede') [de )'\dede' )'^\dy )\de'dy) [dy )\de'dy)\
m\a\n\t i(dP\ /ddP\ /dP'\{ddP'\ fdP\/ddP\ (dP\ (ddP'\ "^ {5n'-2n).e'-\\de')-\de'^ )'^\W)\W^)'^\dÇ')\drdÇ)'^\dÇ')\d^l
mm'.aa'.nn'.t UdP\ } ddP \ (dP'\ (ddP' \ [dP\ ( ddP \ (dP\ }ddP'\ '^ {5n'-2n).e' -{[de )-\dedej'^\de )\dedej'^\dy )\de'dy)'^\dY )\drdÇ)
On trouve encore que le mouvement de m en longitude est affecté de l'inégalité
Si l'on désigne par J5^'. sin. (4^7 — 2nt-h^e — 2 e -h 5'), Fine-
galité de m dépendante de int — 4 n't -h 2 e — 4 e', et par — ff'.sin. [bnt — 2/if-h5e' — 2e H- il'), la grande inégalité de m', on aura pour son inégalité dépendante de knt — gn'f-t-de — ge',
|. ^^'"V^+!."'^^°l H-r.sin.(4«t-9n-f-+-4e-9e-^-I').
14. Les nœuds et les inclinaisons des orbites de Jupiter et de Saturne sont assujettis à des variations analogues aux précédentes. Pour les déterminer, nous observerons que (p et <p' étant les inclinaisons des orbites sur un plan fixe, et B et & étant les longitudes de leurs nœuds ascendants, on a par le n° 60 du second livre, à cause de la petitesse de (p et de 9',
^'. sin. & — (p. sin. B =y. sin. H, <p\ COS. B' — (p. COS. B =y. cos. H.
On a déplus, par le n^ 12,
S.((p'.sin.0')=— ^^.S.((p.sin.0), m'y a'
s. (9'. COS. B) = — -^î^ . S. (9. COS. d).
De ces quatre équations on tire les suivantes ,
39=— ^-^-:z:.jS7.cos.(n — Ô)— y.5^^ m\fa+m'\Ja'
— m va
(phB=^ .: ^ .{3y.sin.(n — e)-^y.3n.cos.(n— 0)},
j^,^ ^V^ \hy.cos.[ll — &)~y.hn.sin.{ll—B)l
(p'hB'= ;?^-— .j57.sin.(n— 0')-+-7.Sn.cos.(n— d')(.
m\a + m\Ja!
Les variations de ^, 6, <^' et d' dépendent ainsi des variations de y et de H. On a par le n' 12
j / i/~ , 'i.r''\ \ ( j— )-cos.(5n'f— anf+5e'— 2e)l
dy ^ (my/g + m y/g) ^^,^^) \dy J ^ ^f^
"^^ "'V^ L^^V sin. (5n'f-2Rf+5e'-ae)('
''^ «W L/^y cos.(5n'f-2nf+5e'-2e)'
De là on tire, en négligeant les quantités périodiques, dont Teffet est insensible, et en observant que
(dFX f ddP\ (dP\ f ddF\ \dy)\dr) \dy)\dy J-''^
. 3m\g'w' (my^+m'y/^) (5mV^+2w'v/7) (p /rf/^X p, /dP\
m^'.g'W (my/g + m'y/^O l/^\ / rf<fP \ fdP\ (ddP'\\ "^ 5n'-2« • ^.^, -^deiyedy) [de )\dedy)\
mm'.aa'nn' {m\/^ + m'\/â) A(dF\ (ddP \ (dP\ fddP' \\ "^5n'-2n- ^.^ '%17)\de'dy) [de' )\de'dy)Y
gn^ 3m''.g'n» (my/g+m^y/^) (5my/g+2m'y/^) ^ j^ /(fP\ ^ /dF\ — y.{Sn'-2nf ^y^ ' ^/y/^ * *( '[dy ) '[dy )
I /dP\ (ddP\ (dF\ (ddP'W m\a*n' {m\/^+m'\/a') [de )'[dedyy[de )'[dedy)\
'.aa'nn' { m\/a + m'^') J [de')'[de'dyy[de')'[de'dy)i
}dP\ }ddP \ (dp{ fddP'\\ [dy)'[dr r[dy)\dr )]
mm ... ^... y „,..., ^
"^y.(6n'-2n)- ,„'yV
15. Si l'on voulait déterminer pour un temps quelconque les éléments des orbites planétaires, il faudrait intégrer les équations différentielles [A) et (C) des n°* 55 et 59 du second livre, par la méthode exposée dans le n"* 56 du mêmç livre; mais Tignorance où nous sommes encore sur les valeurs des masses de plusieurs planètes rend inutile à l'astronomie ce calcul, dans lequel il devient indispensable de faire entrer les variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice, que nous venons de
déterminer, et qui sont très-sensibles pour Jupiter et Saturne. Ces
, , , , dh" dr dp" dq"" dh'' ^
variations augmentent les valeurs de -j— , -jr-^ -rr-^ -fr-^ -rj-, etc.
relatives à ces deux planètes, respectivement des quantités
h'rse" r\Sf^" r.se"" h'\s^" p'\S(p'' a'' je" ,
-^7irp-+— ^— , -nr-^ j^ — ,(l^+/__, etc. en ne considérant dans Se", StsT'^ etc. que les quantités proportionnelles au temps t déterminées dans les numéros précédents. On substituera dans ces dernières quantités, au lieu de e", sin.'CT'^ cos.^", etc. leurs valeurs en h", l"", etc. les équations différentielles (il) du n" 55 du second livre cesseront d'être linéaires; mais il sera facile de les intégrer par les méthodes connues d'approximation , lorsque la suite des siècles aura fait connaître les vraies valeurs des masses planétaires. Dans l'état actuel de l'astronomie, il suffit d'avoir les variations séculaires des éléments des orbites, en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps, en ne portant l'approximation que jusqu'à la seconde puissance.
On a vu dans les n°' 57 et 59 du second livre, que l'état du système planétaire est stable, c'est-à-dire que les orbites de ce système restent toujours très-peu excentriques et très-peu inclinées les unes aux autres. Nous avons déduit ce résultat important du système du monde, de l'équation trouvée dans le n** 61 du second livre,
constante = (e* -h (p*). m\/ci -h (c*--f- (j3'*). m\/a -\- etc.
En efTet, le second membre de cette équation est très-petit dans Tétat actuel de ce système; il le sera donc toujours, ce qui exige que les excentricités et les inclinaisons des orbites soient toujours peu considérables. Nous allons faire voir ici que la diflFérentieHe de l'équation précédente,
G z= [ede •+• 9c?9). m v/a-h [ede -^(^'d(p'). m\Ja-\- etc.
subsiste, en ayant même égard aux variations séculaires des éléments des orbites, déterminées dans les numéros précédents; d'où il suit que ces variations n'altèrent point la stabilité du système planétaire. Pour cela, il suffit de prouver qu'en représentant par m, Jupiter; par m, Saturne; et par hcy he, S(p, 5(p', les variations séculaires de e, e, ^, ^', données par ce qui précède, on a
En substituant dans la fonction (ph(p.m\ja'+-(p'h<p\m\/à, di\x lieu de ^, 5(p, (p', 5^', leurs valeurs données dans le numéro précédent, elle devient
m.m.yjaa' ^
m\Ja + m'\a ce qui change l'équation précédente dans celle-ci,
5 4 /"" . f% t '. /"^ . fnm .\aa •,
e.mya-^-eôe .m yaH — .yoy.
m\/a+m'\/ci!
Considérons d'abord le premier terme de l'expression de he, du n"" 13. Ce terme devient, en observant que n"a'=i,
3m\(5mV^+3m^\/7) {^ (^\jy (^\ a.\f^.{5n'^2nY ^^ 'i \^^ ) 'V^ )
Considérons ensuite le premier terme de l'expression de Ze du même numéro
Considérons enfin le premier terme de l'expression de hy du numéro précédent
3m'. (5m y/^ +2 m' \/^) (my/ô+m'y/^) ^^ jp /^\ p' /^\)
On aura, en n'ayant égard qu'à ces termes,
ehe.m \/a+ehe'. m\JaA ■=-^ — — . yZy
m\/a+m'Sja!
3mm'.(5m\/^+2m'\/^) ^' r\de )'^^\de')'^y\W)){
=- ,..-.,. vï^' •"■|-iv.j.(-)...(-).,.(-)jf
or p et P' étant des fonctions homogènes en e, e, et y, de la troisième dimension, on a
on a donc
o = e8e. msja -f- ehe. Trî\Ja-\ ^ — — . y Sy.
Considérons ensuite le terme de âe,
w^«f UiP\ (ddP\ (dP\ (ddP'\ (dF\ fddP\ {dP\ (ddP'W
«^Sn'-an) '\\de)\de^ ) [de )\de^ ) [dy )\dedy ) \dy )\d^)y
