TOME III

le terme de he ,

mm'.t \(dF\ fddP\ {dP\ (ddP' \ (dF\ (ddP\ (dP\ ( ddP' d.{bf^-'xn)\V<^rWe') \de)\dede'r\dy)\de'dy) [dy )-[de'dy

\/ââ'.{5n-7n)

enfin le terme de 8y

m\ t {m\fl + m'\/^') UdP\ ( ddP \ (dP\ (ddP' \\ a.{bn'-'xny ^.^-. '\\de)\dedy) \dej\dedy]Y

on aura, en n'ayant égard qu'à ces termes et observant que l'on a

ldP\ ( ddP \ (dP\ ( ddP' \ "" — {dyj'ydr ) WJ'U/ /'

m\Ja+m'\Ja'

1 \de ) \ \ oc' / \dede ) ' \dedy )\\

\ ldP\ j (ddP'\ . lddP'\ iàdP'\\

\ \à7 ) \ \dedy) \dedy J ^ \dy' ))]

xTl ^* Vdi ^^^* h^™ogè^^s en e, e et y, de la seconde dimension; ce qui donne

^'[de* )^^'\dede')^y-\dedy) — ^'\de)' (ddP'\ , , (ddP'\ (ddP'\ (dP'\

de plus, (^— ) et (^— ) sont homogènes en e, e et y, de la seconde dimension; ce qui donne

, (ÉÉL\^e' l^^Wy (^^\-i (^\

e (Éân^e' (^^\-^y (^^\-, f^V ^■\dedy)^^'\de'dY)^y-\dr )~ \dy )'

on a donc encore, en n'ayant égard qu'à ces termes,

m\fâ+m'\/a' Considérons enfin le terme de de,

mm'.t UdP\ (ddP\(dP\ (ddP' \ (dP\ (ddP\ (dP\ (ddP'W (5n'-a«).V^iWA5^/ \de']\dede'r\dr)\dedy) \dy]\dedy}Y

le terme de S e

m*t i(dP\ {ddP\(dP\ (ddP'\ , (dP'\ {ddP\ (dP\ (ddP'W

{bn'--in).a"\\de')'\d^) \de')\de''r\dy)'\de'dy] \dy)'\dédy)y

et le terme de ôy

mm' (my/^+mV? ) A(dP\ ( ddP\ (dP\ (ddP'\\

{5«'-.n).v/a"^' m'Sj-^' \\àe')\de'dy} \de')\de'dy]Y

on aura encore, en n'ayant égard qu'à ces termes,

Si— 1^ r t n Tnm\aa ^

e.m\ja-\-e ce .m \ja H — — —-yoy.

mya + m'yô^

Cette équation a donc lieu généralement, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force perturbatrice.

La détermination du plan invariable, donnée dans le n** 62 du second livre, est fondée sur les trois équations

c =:m.\/a. (i— e*).cos. (p+ m'.\/a.(i— e'*).cos. (p'+etc.

c=m.\ja. (i— e'j.sin.^.sin. B + ra.\Jd\\—c^). sin.ip'.sin. 0'+etc.

c"=m.\Ja. (i— e*).sin. (p.cos. 0+/n'.\/a.(i— e'*). sin.^'. cos. 0'+ etc.

a, a, etc. étant constants par le n** 12, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice, la première de ces équations donne, en négligeant les produits de quatre dimensions de e, e, etc. 9, <p\ etc.

constantes (^"-t-^"). ms/â-h- (e'^H- (p'*). w!\Jd-\- etc.

et l'on vient de voir que les termes dépendants du carré de la force perturbatrice n'altèrent point l'exactitude de cette équation. La seconde des trois équations précédentes donne, en négligeant les produits de trois dimensions de e, é, etc. (p, (p', etc.

o = S. ((p. sin. 0). m. \/â-+- S. [(p'. sin.0'). msj'd'^ etc.

or, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force perturbatrice, cette équation a lieu par le n** 14; l'équation

c=m\Ja.[\—e'). sin. ^.sin. B+nî.\Jd.[\—e^).sm.<p\ sin. 0'+ etc.

n'est donc point altérée par ces termes ; et l'on trouve de la même manière que cela a également lieu pour l'équation

c=m.\Ja.[\ — e*) .sin.^.cos.0+m'.\/a. (i — ^'*) . sîn.(p'.cos.0'+etc.

ainsi le plan invariable déterminé par le n** 62 du second livre reste toujours invariable, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice.

16. Les termes dépendants de ce carré peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne : nous allons déterminer les plus considérables. On a vu dans le n*" 5 que l'expression de R ou de 5jR renferme la fonction

En y faisant croître e, e\ tsr, ^' et y, de leurs variations dépendantes de Tangle bnt—int, on aura dans R un terme dépendant du même angle, et qui, à raison du diviseur 5/1—2/1, qui affecte ces variations, paraît devoir être sensible. Mais on doit observer que ce diviseur disparaît dans djR, parce que la caractéristique difi(érentielle d, se rapportant aux seules coordonnées de m, elle se rapporte aux variations de e et de isr, et par conséquent elle introduit le multiplicateur bn—in; or on a vu que la grande inégdité de m dépend principalement du terme 3a.ffndt.dR; les inégalités du rayon vecteur et de la longitude, qui dépendent des variations des excentricités et des périhélies, relatives à l'angle bnt—2nt, ont donc très-peu d'influence sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.

On verra dans la suite que les inégalités les plus sensibles de ces deux planètes, dépendantes des simples excentricités des orbites, sont relatives à l'angle nt—2 nt. Nommons F.cos. [nt—2 nt+e—2 e'+A) ,

le terme de — qui dépend de cet angle, etjE.sin.(/if— 2/i'f+e— 2 e+B),

le terme de 8v, dépendant du même angle. Soient

F.cos. (/if— 2/i7+e-2e'+i'), et E'.sïn. {nt-2nt+e-2e+R),

tes termes correspondants de — r et de 8v. Supposons que R soit

relatif à Saturne, troublé par Jupiter : en le développant par rapport aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, et en ne considérant que Tangle Znt—nt, on aura par le n° 4 une fonction de cette forme

M^'K Acos. (S/i'f— /if-4-3e'— e — 2tsy') -^M^'Kee. COS. [Znt — 7if-f-3e' — e — ^ — tsr') ^-M^'^ c'.cos. (S/i'f — 7if-t-3e' — e — i^) -+-M^^^7\cos. (3nf— 7if-+-3e— e — 2n)..

Le premier terme M^'\e\cos.['int — 7if-4-3e' — e — i^cs') résulte du développement de A^'\cos.[v — r), dans l'expression de R. Il faut augmenter dans ce dernier terme, r de 5r, r de Sr, v de 5r, et V de hv ; ce qui revient à augmenter dans son développement, a de 5r, a de Sr, et nt — nt, de hv — hv. Ce premier terme donne alors les suivants

— M^*^e\(5î;' — St;).sin.(37i'f — /if-H3e'— e — 2tsy')

-ha.l— 1 — j.e\ — .COS. [ont — /if-hoe — e — atiy j

-ha.l , ; \.e\ —7. COS. (oTif — nt-i-oe — e — 2tïy J;

d'où résultent dans jR les termes

— ±M^'Ke'.E\cos.{5nt—2nt-^be—2e — 2^'—B) ^|. W'K é\ E . COS. {5nt— 27if -4- 5e'— 2e — 2^'—B)

-h|.a.(-^ — J-e'.F.cos. (5/i'f — 27if-f-5e' — 2e — 2t«y' — A).

Désignons par d'jR la dififérentielle de R, prise en ne faisant varier que les coordonnées de m. Dans les termes multipliés par E' et F' la partie 6nt — nt de l'angle Snt — 2wf, est relative à

ces coordonnées. Dans les termes multipliés par E et F, la partie 3nt du même angle leur est relative; on a donc, en n'ayant égard qu aux termes précédents de R,

a. à'R=i. {Sn-n).dt. aWK E. e\ siu.{bnt-2nt+ ôe'-ae-atsy'-F)

i.. [Sn'^n). du a\C^\ F. é\ sin. {5/i'f-2/i(+5e'-2e-2<cT-4')

-|.7i'rff.aM^"^JE.e\sin.{5/i'f-27if+5e'-2s-2'CT'-5)

—\. liât. ûtt'-(-T — )• ^- ^'*- sin- (5/17— int+ 5e' — 2e — 1^' —A).

Le terme M^*^ee'.cos. (3/i'f — /ifH-3e' — e — tsr — ts/) résulte du développement de i4^*^cos. (21;' — 2v), dans l'expression de K; il faut donc faire varier dans ce terme, a de 5r, d de 5r et irit—int de aSr' — 2 Si;; ce qui donne les termes suivants

— 2Mw.ee. (Sv'—Sv). sin. (3w7—7if-f-3e — e—tsT—'CT') H-a.i-T — ].ee. — .cos. [ont — nt-\-ôe — e — ^ — t«y)

-hd.l , , j.ee.-7--cos. {3nt — nt-h-Se — e — ^ — 'cr') ;

la partie de d.à'R, relative à ce terme, sera donc

{ùn—n). du a'M^'K F.ee. sin. [bnt— 2nt-+- Se' — ie — ^—^'—ïï) ^±{Sn'—n).dt.a\C^\

--Mdt.dM^'KE.ee.sm.{5nt—2nt'i-5e—2e — ^—^' — B) ~\n'dt.aa\l^\F.ee\

Le terme M^^Ke\ cos. {3nt — nt-+-3e — e — 2^) résulte du dévdoppement de il w. cos. (3i;' — 3v), dans l'expression de R; il faut

donc faire varier dans ce terme, a de 5r, a de èr, et 3n'( — 3nf, de 3Sî>' — 35i>, ce qui donne les suivants,

-ha.l . , J.e'.— r.cos. (3/if — Rf-4-3e — e — atJ);

la partie de a'.d'/î> relative à ce terme, sera donc -|-.(5ft' — n).(/f.a'M'".£'.e\sin.(5n't— 2/ifH-5e'— 26 — 2-©— B'J 2..{5„'„).rff.a'.Yj^yir'.e..sin.(5n'f— 2nf-+-5e'— 26 — 2«T— i4 — I- n'dt. a'M^*''. E. e\ sin. [bn't — 2/i<H-5e' — 26 — 2'© — 5) — -j-.n'ÉÎt a«'.(-^ — J.F.c'.sin. (5n'f — 2nt-h5e — 26 — 2t3 — A).

Enfin , le terme M ^ y\ cos. (3n'( — nf H- 3e' — e — 2 n ) résulte du terme multiplié par y\ cos. (3«' — v) dans l'expression de R; il faut donc y faire varier a de èr, a! de Sr, 3n'( de 3Sv', et nf de 5v; ce qui donne les suivants

— ilfw.y'. (3Sî;'— 5w).sin.(3n'«— n«-f-3e'— 6 — 2n)

-+-a.(-T — J.y'. — .cos. {3n* — nt-^-ôe — 6 — 211)

-ha.l . ^ I. y*.— r.cos. [ont — nt-^oe — e — 211);

d'où il résulte dans a. d'R, les termes suivants ,

1.(5/1'- n).J(.a'i»/'".F.y\sin.(5n't— 2nt-+-56'— 26 — 2n— F) -^\.{5n'—n).dt.a\C^\.F'.y\sm.(5nt—2nt-i-Se'—2e — 2U—A — 1-. n'dl. a'M<". E. y\ sin. [bnt— 2nf-f- Se'- 2e — 2n— B) — |-.n'</t.aa'.(-j^j.F.y\sin. (5n't — 2nf-f-56' — 26—211 — A).

Les inégalités les plus sensibles dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, et qui n'ont point 5ji' — 2/1 pour diviseur, ou qui ne dépendent point des variations des éléments, relatives à l'angle but — int, se rapportent à l'angle 3nt—nt. Soit G. cos. (3/i'f— /if-hSs'— e+C), la partie de

— qui dépend de cet angle; so\tH.sin.[3nt — nt-\3e—e^D),

la partie de Si; qui dépend du même angle. Soient pareillement,

G'.cos. (S/i'f— 7if+3e'— e + C), et //'. sin. (3/i'f— nf+3e'— e + D'),

Sr f .

les parties de —r et de hv relatives au même angle. L'expression

deiî, développée par rapport aux puissances simples des excentricités, renferme les deux termes suivants,

iV^'^ e . COS. [nt — 2nt-+- s — 2 e'-h'cy ) -h-N^'le. COS. [ni — 2nt-i-£ — ss'h-'Ct'):

le premier de ces termes résulte du développement de A^*K cos. (îv— Qv), dans l'expression de R; il faut donc augmenter dans ce développement, a de 5r, a de 5r, et 2nt — 2 7it, de 28 v — 2 Si;, ce qui donne les termes suivants,

2N^'Ke.{hv—8v).sin.{nt—2nt-^-e — 2£-+-^) -f-a.l— 7 — \.e. — .COS. [nt — 2nt-\-e — 2e -htsyj

H-a.l-^-7-i.e.— r.cos. [nt —2nt-\-e — 2e -htsrj;

d'où résultent dans R les termes suivants,

N^'KH\e.cos.[5nt —2nt-i-be — 2e— t«y-+-D') — N^'KH .e. COS. [5nt — 2yif -hSe' — 2e — «-hD)

— 1 — j.G.e. COS. [5nt — 271 f -h 5e' — 2e — tzr-i-C).