TOME III
Pour avoir la partie correspondante de â!R, il faut dans les termes multipliés par H' et G' faire varier l'angle 5nt — nt; et dans les termes multipliés par Jï et G, ne faire varier que 2nt; ce qui donne
a.à'R=— {5n -n).dt. à. W'K //'. c.sin. (57i'f~2nf+5£'-2e->cy + J
-j-r-).G'.e.sin.(5n'f— 2nf+5e'— 2 e— tzr + < -h 2n. dt. a. N^'KH.e.sm.{5nt-2nt+Se-ie—^-{-D) - n.dt.aa.l-^ — ). G.e. sin. (5/i7 — 2/if+5e' -2e-t«y+C).
Le terme N^'Ke.cos.[nt-'2nl+£ — 2£+^') résulte du développement de A^'^cos. [v—v) dans R; il faut donc faire varier dans ce terme, a de âr, a de êr\ et nt—nt de âv—8v; ce qui donne les suivants,
N^'Ke.{8v—èv).sm.{nt~2nt-^e — 2e'^^') -ha.l -1 — Ve. — . cos .[nt — 2nt-he — 2e'-f-t«y')
-+-a.l , , L g.— T. cos, [nt — 2nt-\-e — 2e -h'cy ).
La partie de a.d'/î, relative à ces termes, sera donc — |. [bn- n) . dt. a. N^'KH'. e'.sin. [5n't- 2nt + be--2e-^ + iy)
—r-r- ) • G', e. sin. (ÔTi'f — 27i t+ Se — 2 e — «'+ C) -+- ndt. a. N^'K H. e .s\n. [bnt—2nt + be -2e-^'+D) — ndt.aa.l—j^ — |. G.e'. sin. [bnt—2nt+be—2e—'ts' + C).
Les valeurs de M^'\ M^'\ M^'\ M^'\ sont déterminées par les formules du n** 4, en y changeant ce qui est relatif à m, dans ce qui
est relatif à m', et réciproquement. Les valeurs de TV'"' et A'^'- seront déterminées par les équations
a'A' ^^^ = — 2m.aA^'^~i.m. ad. [-^) ,
dN^= m.a^^' — |.m. a\(-^).
En réunissant toutes ces expressions partielles de a. d'JR, on aura un terme de cette forme,
mn\Ldt.sm.[bnt — 27if-f-5e' — 2 e — 0).
Le terme id.ffndt.iïR, de l'expression de âv, donnera ainsi
— ,c / \ .sin.(5yi'f — 27iZH-5e' — 2e — 0).
G*est le terme le plus sensible, de la grande inégalité de Saturne, dépendant du carré de la force perturbatrice.
Si l'expression de J?, divisée par la masse perturbatrice, était la même pour Jupiter et pour Saturne, on aurait, par le n*" 65 du second livre, l'inégalité correspondante de Jupiter, en multipliant
la précédente par ^L—\ mais la valeur de A^'"^ nest pas la
m\J a même pour les deux planètes, et par conséquent les termes
M^e\cos. (37i'f— nf"f-3e'— e— 2tïy'), et IS^'l e . COS. {nt — 2nt-^e — 2 e'-H-W) ,
divisés par les masses perturbatrices, sont différents pour chacune d'elles. Mais il résulte du n** 65 du second livre, qu'en Q*ayant égard qu'aux termes qui ont (5n — 2/1)' pour diviseur, on a dans ce cas
fdR^fà'R=o, R étant ce que devient R, relativement à Jupiter, et la caracté-
ristique différentielle d se rapportant aux coordonnées de Jupiter; d'où il suit que l'inégalité de Jupiter qui correspond à la précédente est
—r^t — Xr—.I. sin. {5nt — '2nt-\-Se — 2e — 0).
(on— 27?)* ^ ^
17. Dans les inégalités de Jupiter et de Saturne, dans lesquels le coefficient de t n'est pas bn — 2/1, et ne diffère pas de cette quantité du coefficient n pour Jupiter, ou du coefficient n pour Saturne, il faut augmenter nt et nt de leurs grandes inégalités dépendantes de Sut — 2nt. En effet, on a vu que ces grandes inégalités doivent être ajoutées aux moyens mouvements, dans les formules du mouvement elliptique; elles doivent donc être ajoutées aux mêmes quantités dans le développement de R. Soit H. COS. [int — int-i-A)y un terme quelconque de ce développement, et L. sin. [in t — int-hB)^ l'inégalité correspondante de Jupiter. En augmentant ntet nt, de leurs grandes inégalités, dans le terme H.cos.[int — {nt-+-A)^ il en résultera un terme de la forme qll. cas. \int — int^[bnt — 2nt)-{-A-\-E\. Maintenant la suite des opérations qui lient H k L donne aux parties de H les diviseurs [in — //i)% in — in, in — iw=t/i. La même suite d'opérations donnera à l'inégalité correspondante aux parties de ^ H. COS. I i lit — int± [brit — ^nt) -\- A -\- E\^ les diviseurs \ïn —in =b [bn — 2n)\\ in —in ± (on — 2/1), in — in± (5/i— 271) ±n. Si iii—in ou in— in ± w ne sont pas très-petits de Tordre S/i— 2/1, on peut négliger Sn — 2/1, dans ces derniers diviseurs, et alors l'inégalité correspondante à
sera
(jH.cos.\int -int î- [ont — 2nt) -i-A'+-E\ (j L. sin. [int— intdt [bnt— 2nt) -f-fi-i- £} ;
ce qui revient à augmenter dans L.sin. [int — i/if-4-J5), nt et nt, des grandes inégalités.
Il faut pareillement augmenter dans les termes dépendants des simples excentricités, les quantités e, e, ^,^\ de leurs variations dépendantes de l'angle bnt — 2nt; mais on s'assurera facilement qu'il n'en résulte que des inégalités insensibles.
18. Les coefficients des inégalités des planètes varient à raison des variations séculaires des éléments des orbites : on peut y avoir égard de la manière suivante. On mettra d'abord l'inégalité relative à un angle quelconque i'nt — int, sous cette forme,
P. sin. ( int — int-i-ie — ie) H- F. cos. ( int — int-i-ie — ie) .
On déterminera les valeurs de P et de P, pour l'époque de 1 760 ; en faisant ensuite
tang.i4= Ç, L=v/P-f-F%
le signe de sin. A étant le même que celui de P', et son cosinus étant du même signe que P; l'inégalité dont il s'agit sera
