THÉORIE DE MERCURE
27. Les inégalités de toutes les planètes, indépendantes des excentricités, et celles qui ne dépendent que de leurs premières puissances, ont été calculées par les formules du n^ 50 du second livre. On a d'abord déterminé les valeurs de A^^\ A^'\ etc. et de leurs différences, par les formules du n° 49 du même livre; ensuite on a obtenu les résultats suivants dans lesquels j'ai omis les perturbations du rayon vecteur, dont l'effet sur la longitude géocentrique de la planète est au-dessous d'une seconde. Pour déterminer la limite qu'une inégalité du rayon vecteur doit atteindre pour produire une seconde sur la longitude géocentrique de Mercure, nous observerons que si l'on nomme V cette longitude, et si Ton fait -^ = a, on a pour variation SV correspondante à êr,
r" ' 1— 2a.cos. (v— v'j+a*'
Le maximum de la fonction
sin. (v— v^
1—2 a.cos.(v— v'^+a*
correspond à
COS. (v— 1;) = -^^^;
ce qui donne ; pour ce maximum; on a donc alors
Si Ton suppose (î7=iti\ et si Ton prend pour r et /, les moyennes distances de Mercure et de la terre au Soleil, on aura par ce qui précède, r"= i, «=0,38709812; d'où l'on tire
âr=z:p o,oooooi335 :
on peut donc négliger toutes les inégalités du rayon vecteur de Mercure, dont le coefficient est au-dessous de ± 0,000001 . Parmi les inégalités du mouvement en longitude, nous ne rapporterons que celles dont le coefficient est au-dessus d'un quart de seconde, excepté les inégalités qui dépendent de la simple distance angulaire de la planète, et qui peuvent être réduites dans une même table avec des inégalités plus considérables.
Inégalités de Mercure indépendantes des excentricités.
2'',o44299.sin, [nt — nf-f-e — e)
1 — 4\4972 55. sin.2(nff — nt-+-e — e)
âv= (n-(^' ).{ — o^395294. sin.3(/i'f — wf-f-e' — e)
- 0^,09032 2 . sin.4(n f — nt-{-e — e)
[ — 0^027485. sin.5(/i7 — nt-^e — e)
0^,62 2 493. sin. [nt — nt-i-e" — e) ( ^, If \ j — o\5ii2 5o.sin.2(7i''f — /if-he" — e) ^ — o',o52 i63.sin.3(7i''f — /it-f-e" — e)j
— o",oo9652,sin.4(w''f — nfH-e" — e)]
1^757209. sin. (/i"'f — nt-he"^ — e)\ (i+fi'").!— o^365384.sin.2(/l"f— nf-f-e"— e) , — o^oo962 4.sin.3(/l"^f — /i/H-e"^ — e))
— 0,0000004094. COS. [nt — nt-he — e)| Sr= — (i-t- jx'),|h- 0,000001 5545. cos.2(7i'f — nt-h-e — e)\
-0,0000001702. cos.3(7i'f — nf-t-e' — e)\ -0,000000043 7. cos.4('i't — nt-he — e)i
SECONDE PARTIE, LIVRE SIXIÈME. Hl
Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités.
' o\9i 1 1 i4.sin. [nt-he — 'cr)
— 1 2^440900. sîn.(27i't — nt-hie — e — ©)
— 5^204241.5111.(3717 — 2wfH-3e' — 2e — tsr) Sv=[i-^-(i )./-h o",':>9oo9o.sin. (3/i'f — 2nt~\-3e' — 2e — tjr')
H- o",907384- sin. [^nt — 3nt-h^e — 3e — ^)
— 0^545742. sin. (27if — nt-h2e — e — tsy) ^-4- i'',2 17550, sin. [3nt — 27i'f-|-3£ — 2e' — tjr))
10^294499. sin. [nt-h e" — "Cs) — i'',425o25.sin.(27i^f — nt-h-^e" — e — ^) -h 0^753543. sin. (3 Ai"f — 2nt-+-^e'' — 2e — «)
Io^ 7 2 9463. sin. [n'^t-he"' — ^) — 1^765962. sin. (yi^^f H- e'^ — 'Ct'") — io",i 19405. sin. [2n^t — nt-+-2e"^ — e — ^cs))
(h-mM j o\259774.sin.(7i'f-f-e''— tïT') j
\ f^ ^'j j i\2 2o658.sin. (27i''f — nt-h'ie'' — e — ^)y
êr=z — (i-f-(x' ). 0,000001 3482. cos. [3nt — 27if-f-3e' — 2e — tjr) — (i-4-(x"^). 0,0000029625. COS. (2/i"^f — 7if-t-2e"^ — e — tjr).
Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités, et des inclinaisons des orbites.
Ces inégalités ont été calculées par les formules des n°* 1, 2 et 4. Le double du mouvement de Mercure diffère très-peu de cinq fois le mouvement de Vénus, en sorte que 5 [n — w)-h 2/1 est à très-peu près égal à — n; il faut donc, par le n° 3, considérer l'inégalité dépendante de 6 m — ont. Lanjçie 3nt~nt, croît avec assez de lenteur, pour avoir égar ^ité qui en dé-
pend. Pareillement, le mouvement de t :j;àl à très-
peu près à quatre fois celi "*'Ière
112 MÉGANIQUE CÉLESTE.
peu de — n; il faut donc, par le n"" 3, considérer Tinégalité dépendante de 2nt — an t. On trouve ainsi
js ( r\{ 5^2l74l7.sin. (Szif— 57i'f+3Ê— 5e'--48%i2io)i ^"""^'^f'^i+i\84464i.sin.(3/i'f--/it+3e'--e + 45%i2i9) j — (i4-fJt'').o'',8i3i90.sin.(2/i<— 4/i''f+2e — 4e'— 45%7735),
(Jr=:(i+(x').o,oooooi6o56. COS. (3/iï — 57i'f+3e— 5e'— 47%742o).
Inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités , et des inclinaisons des orbites.
La première de ces inégalités dépend de l'angle 3ni — Snt; elle a été calculée par les formules du n"* 7. La seconde dépend de l'angle nt — l^nt; elle a été calculée suivant la méthode du n"* 10. On a trouvé ainsi
^t;=-(i+fi').26\i8446o. sin.(2nf-57i'f+2e-5e'+33%5852)
Les inégalités du mouvement de Mercure en latitude ont été calculées par les formules du n*" 51 du second livre. Comme elles sont insensibles, et au-dessous d'un quart de seconde, je crois inutile de les rapporter ici.
