THÉORIE DE JUPITER

33. L attraction réciproque des planètes entre elles et sur le soleil est principalement sensible dans la théorie de Jupiter et de Saturne, et nous allons en voir naître les plus grandes inégalités du système planétaire. L'équation

5r^ = — C.fi— aM.Sr r ^ '

trouvée dans le numéro précédent, relativement à Mars, devient pour Jupiter

Si Ion prend pour r et r"^ les moyennes distances de la Terre et de Jupiter au Soleil, et si l'on suppose SY"" =^±.\\ on aura

5r"^=zfz 0,0000409226;

on peut ainsi négliger les inégalités de dr'' au-dessous de

:fo,oooo4i.

Nous négligerons les inégalités du mouvement de Jupiter en Ion* gitude et en latitude, au-dessous d'un quart de seconde.

Inégalités de Jupiter indépendantes des excentricités.

3^,- fi . ,.'m1 o",372 9Ai,sin. (n'f— n"f-+-e'— e") ) ^ ^ i-j o>oo266.8in.2(n^f— n'^f^e^— e") j

TO&i£ m. 18

(i ,-fx')

' 255",59i70o.sin. [nt — n^t-i-e'' — e'*^)'»

— 63o'\883870.sin. 2 (zi^'f — n^^t-he"^ — e")

— S2\6gooi3.sm.'6[nt — 7i'7-f-e*^ — e" )

— 12 ,1 18299. sin.a(/i f — n t-h^ — e )

— 3^736337. sin.5(w'^( — /i"^f-he' — e" )

— i\32 2 283.sin.6(7i*^f — rî^'t-^-e — e")

— 0^627541. sin. 7 (/l'^f — n^'t-^e' — e")

— o",2 34833.sin.8(n'^f — w'^f-H-e'^ — e") \ — o\i2 7385.sin.9(/i''f — n^'t-^-e^ — e") ;

,246102. sin- [n t — n f-f-e — e )

— 1 \3 1 88 1 5. sin.2 [n't — n"'t -h e' — e" ) — o",i36o65.sin. 3(7^7 — n^'t-^-e'' — e")

\ — o\oi8447.sin.4(w"f — n^^i-he*^' — e")

— 0,000062 o586 -+-0,0006768760.008. [nt — 7i'7-l-e'^ — e"^)

— o, 0028966200. cos.2(n'^f — n"'t-{-e' — e"^)

— O,ooo3o2i367.cos.3(/rf — n'^t-^e' — e"^)

— 0,000078261 4. cos.4(7i'^< — 7i"^fH-e^ — e^)

— 0,0000258962. cos.5(7i7 — w"^f-f-e'^ — e"^)

— 0,0000094779. cos.6(/i'^f — n'^f-he'' — e" )

— 0,00000 14781. COS.8 (/l'^f — n'^t-he' — e'* )

— o, 0000004799. cos.9(ii''f — n''t-+-^ — e" )/

Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités.

Plusieurs de ces inégalités étant considérables, il importe d'avoir les variations de leurs coefficients : nous allons donner celles des coefficients qui surpassent cent secondes dans l'expression de hv\ Les coefficients des inégalités dépendantes de 'cr"^ ont e^ pour multiplicateur; en nommant donc Ae"" Tun de ces coeffi-

cients, sa variation sera Ae\ — tf-; et Ton verra dans la suite qu en

ov =

ayant égard aux quantités dépendantes du carré de la force perturbatrice, et dont nous avons donné les expressions analytiques dans le n"" 13, on a

Pareillement les coefficients des inégalités dépendantes de 'cr* ont e"" pour multiplicateur; en nommant donc Be^ l'un de ces coeffi-

cients, sa variation sera Be" — r, et l'on verra dans la suite que Cela posé, on trouve

-2 9",9i477o.sin.(7i'^<+e'^— «' ) — (427^078201 +f.o",oi4i929).sin.(27i'^f— n"i4-2e'— e"— 'cr'*^)

-{17^^796601 —t. o\oo969o6).sin.(2n'^f— n't+ie— e'^—^'')

-(i37",2 2 476o+f. o^oo456o3).sin.(3/^'^f— 2n'7+3e*— 2e"^--«"^) -l-(262",i68424 — ^o\oi4535i).sin.(37i'^t~27i'7+3e'^— 2e"^— tff*^)

-2V,46o84o.sin.(4/i'^f — 37i"^f-h4e' — 3e"^ — zf"^)

— 48",239570.sin.(4yi'^ï — 37i"^f-f-4e*^ — 3e"^ — ^"^ )

- 3\233695. sin-iô/i" t— àn'^t -h 5e — 4e' —^cr")

— 8\585382.sin.(5/i^<— 4/i"^-4-5e — 4e' — 'CT^ ) |-h i\256948.sin.(6n'^f — 5/i"^fH-6e'^ — 5e"' — 'cr"^)

— 2^8l8833.sin.(6/l^— 5/i"/-f-6e- 5e'— 'CT^) 0^,46073 i.sin.(77i''f — 6/1"^/ -h 7e' — 6e" — 'cr"^)

- i\oo49i3.sin.(77i'^f — 6n"^f-i-7e'^ — 6e" — 'cr'^ )

— i6\o7445o.sin.(27i"^t— n'^<-h2e" — e*^ — ^cs'') ' i",75845o.sin.(2n"/ — ni -39",742 746.sin.(37i"^f — 2n t

- 1^087650. sin.(3/i"^f — 2n t

f- 3",973709.sin.(4^i"^^ — 3n r

-- o',5336i7.sin.(4/i"<— 3n'<

-h 1 *, 1 00702 . sin. (5/i"f — an t

^ o',256755.sin.(5w"^— 4n'/

-2e 'CT

4e'— 3e^-<cT")

4e'^-3e^— 'cr^)

-5e'* — 4e'- -tar")

^ o",38 1 191. sin. [n't-+- e" — 'cr" ) \ — o",72 6o5o.sin.(7i"f-he'^' — ^''')

o\Z i6Sqi . sïn.[2n't o",394947. sin.(37i*'f-

n t-\-2e — e — © jK

tr, , 1/ /r ri \ \

n f-f-2e — e — tar jl

/!' . o F/ ir ri\ I

2/1 f-4-3e — 2e — tET )/

0,00002061 1 i.cos.(/i"f-he" — 'Ct"^) -0,00007962 46. cos.(ni-+-e*^ — 'cr" ) -0,0000^92096. cos.(/i'^f-f-e'^ — ter' )

— o,ooo2 92 2i3o.cos.(27i' t — n"^t-{-2e — e" — ter" ] H-o,oooi688o85.cos.(27i*^f — /i"f-f-2e' — e'' — tsr' )

— o,ooo4584483.cos.(3/i' f — 27i"iH-3e'^ — 2e" — tzr" ) 5r' i=(n-(x' )./-+-o, 0009047822. cos.(3/i'^f — 27i'7-+-3e'^ — 26'"^ — tar*^ ) )•

H^ 0,000 1 2 59429. COS. (4/1* f — 3n''t-\- 45*^ — 36'*^ — tar'*^ )

- 0,0002 42 44 1 3. COS. [l^n t — 3n"'t-\- 4^*^ — 3e" — ©' ) -0,00002 68383. cos.fô/i'^f — 4^"f-f-5e' — 4^" — "^^ )

— o,oooo5 1 6o48. cos.[5n t — ^n"^t-hSe'^ — 4^'' — "cs' ) -0,0000679151. cos.(2/i'*f — n'M-2e''^ — e*^ — tar" )

- 0,000 i34653o.cos.(3/i"^f — 2n''f-f-3e" — 2e' — ^"')

Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons.

Sî;"r-:(l + jx').

3",o9778o.sin.(/rf-i-n"f-+-e'^-+-e"-f-5o°,5438)

1 7^,2 18232. sin. (27i'M-2e'^-hi 7^,71 1 1)

36^,186942. sin.(37i'f—7i"f-4-3e—e"+88%5i48)

-56",7879i2.siD.(4/i'f— 2/i"(-h4e'— se'"— 63%5635)

tr ft , ra ^ " 5 \ ' /3n"f— 67i'f4-3e"--5e' \i (522 ,420601— f.O ,Ol3202).Sin.( ^ ^^^ ^^„^ Il

5\o83765.sin.(6/i'f— 4n"i-4-6e— 4e'— 6o%4778)

7^6432 2 1. sin. (n'i — /i"i-f-e' — e"-h48%0929)

[ — 1 9^,407399. sin. (2nf — 2n"i-H2e'^ — 2e"-f-47'*42io)

Ces deux dernières inégalités réunies aux deux suivantes,

I ,v i 2 55^591 700. sin. [nt — n'Y-f-e'^ — e") ) i'-^f ^j 63o\88387o.sin.2(/i''f— /i"f-4-e— e")î

que nous avons trouvées précédemment, et qui sont indépendantes des excentricités, donnent celles-ci,

, ,. j— 26i\20oA20.sin.(n''f— n*>+e"~e*— i°,2756) j ^'"^^^'j-f-645^364888.sin.(2/^">-2/^^^+2e"-2e-l^2957)i•

On a ensuite

0,000082 2Al5.C0S.(2/l'^f+2eV 12%2 392 )

+ o,oooo2 2 62 52.cos.(3n'^t— 7i"'f+ 3e'^"-e"^— 2 4'',^093)

yr__j r\ ] — o,oooioio533.cos.(4w'^f— 2/i"H-4e'^— 2e"^— 56%74i9)

'" i / ,K , ^. QN /3n"f-5/i"'f+3s"-5e''\/

-(o,oo.,ia5o2-f.o,ooooooo5323).cos.(^^g^„^^^^^^^^^^„gJ|

\ — o,oooo652 2o4.cos.(2M*^f~2n'^f+2e'^— 2e"+6o%i64i)

En réunissant la dernière de ces inégalités à la suivante,

— (i-h(x'). 0,0028966200. cos.2(n*^f — n7-he*^ — e"),

que nous avons trouvée précédemment, et qui est indépendante des excentricités, on a celle-ci,

— (i+jx*^). 0,0029261 892. COS. [2n''t—int+2e"— iq — i%i5o6).

Les inégalités précédentes de hv' ont été calculées par les formules (i), (C), [E) et (F) des n*'' 1 et 2, à l'exception de l'inégalité dépendante de l'angle 3n"( — but: bn — 271"^ étant un coefficient très-petit, en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne, l'angle ^n'^t — bnt diffère trèspeu de n^t; on a donc fait usage, pour calculer cette inégalité, des formules [B) et (C) du n° 1, et de la méthode du n° 18.

Inégalités dépendantes du cube et des produits de trois et de cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, ainsi que du carré de la force perturbatrice.

La grande inégalité de Jupiter a été calculée par les formules des n"^ 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16 et 17. On a trouvé par le n^ 8,

De là on a conclu pour 1750,

On a déterminé ces valeurs pour 2 2 5o, et pour 2750. Pour cela, il a été nécessaire de déterminer les valeurs de e\ e\ 'cr", tzr\ y et n, en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps, en portant la précision jusqu'au carré du temps. On a d'abord calculé par les formules du n** 13, les variations séculaires de he'\ he\ S'cr", Stn', dépendantes du carré de la force perturbatrice, et l'on a trouvé pour ces variations.

he' r:-

Se' .:--

S-bt' --

^io",oo84oi.

Les coefficients de f, dans ces expressions, sont les parties de -r -, -j—, -7--, -jj y dépendantes du carré de la force perturba-

trice : il faut les ajouter aux valeurs des mêmes quantités déterminées dans le n*' 25; ce qui donne pour ces valeurs entières en 1750,

de'

= i",oi6936, r^- 21^459284,

^jp= 59,789037.

On a déterminé par le même procédé ces valeurs pour 1960, et Ton a trouvé pour cette époque,

-37-== 2i",769o69, de'

= — 2'',ooi54o,

e''=i e'-^t. 1^016936 — r. o',oooo255775, t5"=tiT"'-+-f.2 1^,459284 -f-<*.o\ooo7744625,

/ rT3 e^ — t. 1^984469 — t*. 0,0000426776, "cs =tEr''-4-f.59\739o37-hf". o',ooo5346525 ,

les valeurs de e\ izr'^ e?^ 'cy^ dans les seconds membres de ces équations étant celles de 1750.

On a déterminé les valeurs de y et de II , au moyen des équations

(p\ sin. 0' — (p".sin. d'*=y. sin. H, Ç\ COS. 6' — 9" . COS. d"=y. cos. H.

dy dJl

Ensuite on a déterminé les valeurs de -jf et de -j- , au moyen des

difTérenlielles de ces équations, en y substituant pour -^-, -^,

—5—, -^— » leurs valeurs données dans le n° 25. On a trouvé de

ai (Il

cette manière pour 1760,

-^ = — o\ooo326.

Les formules du n° 14 donnent pour les variations séculaires de y et de n, dépendantes du carré de la force perturbatrice,

5y iziiz f.o'',ooo568, 5n = — t. o\o2 3552 .

En ajoutant les coefficients de t dans ces équations, aux valeurs précédentes de -^ et de -rr, on aura pour les valeurs complètes de ces quantités en 1750,

dy ff ,

-Tr=^ 0,000242,

On a trouvé par le même procédé pour 1960,

^ = — o\oo4589, ^ = -81^87827.

De là on a conclu par le n"* 8, pour un temps quelconque t,

y =y-ht. o\ooo2 42 — /•. o\ooooi 20776, n= n — t. 80^660999 — V. o\oo2 3 170701 ,

les valeurs de y et de n , dans les seconds membres de ces équations, étant celles de 1760. Gela posé, on a trouvé pour 22Ô0,

a.P= — 0,000080189, a. P'= — o,ooioo65io;

et pour 2760,

doù Ton a conclu par le n"" 8,

a . -y— = — 0,000000002 laOi at

r ddF , o

a . -Tfr^^ 0,000000000141700.