DE L'ACTION DES ÉTOILES SUR LE SYSTÈME PLANÉTAIRE

47. Pour compléter la théorie des perturbations du système planétaire, il nous reste à considérer celles que ce système éprouve de la part des comètes et des étoiles. Mais vu l'ignorance où nous sommes des éléments des orbites de la plupart des comètes, et même de Texistence de celles qui , ayant une grande distance périhélie, se dérobent à nos regards, et cependant peuvent agir sur les planètes éloignées, il n'est pas possible de déterminer leur action. Heureusement il y a plusieurs raisons de croire que les masses des comètes sont très-petites, et qu'ainsi leur action est insensible: nous nous bornerons donc ici à considérer l'action des étoiles.

Reprenons pour cet objet les formules (A), (7) et (Z) du n"* 46 du second livre,

i a.cos.v.fndtr.sin.v.\2.fdR-h^r.l-T-']\

I — a.sin.v./nà.r. cos.v.p./djR-hr.l-j-j I fA.\/i — e'

%r.d.Sr-i-dr. Sr

— . ffndtdR^ —.fndt.r. l^\

iv= ^''^^^ ^ " îl Vin/ , m

a.cos.v. fndt.r.sin.vA'-r-] — a.sin.v. fndt.r.cos.v.l-j-)

3,= :: \^ :: XifiZ. (z)

Désignons par m! la masse d'une étoile; par x', y, z, ses trois

190 MÉGANIQUE CÉLESTE.

coordonnées rectangles, rapportées au centre de gravité du soleil, et par r, sa distance à ce centre; Xy y, z étant les trois coordonnées de la planète m, et r étant sa distance au soleil, on aura, par le n"* 46 du second livre,

^ ^ m.[xx-\-yy'^2z')

y^ [x'—xY-^[y—yY-^-[z'—zy

En développant le second membre de cette équation» suivant les puissances descendantes de r\ on aura

P m' , m.r' , ^ ^xx+yy+zz'—\r'y . ^ R=^ r H 1 \m^ "^ — r, —^ -h etc.

Prenons pour plan fixe celui de l'orbite primitive de la planète ; nous aurons, en négligeant le carré de z,

j;=zr. cos. v, y = r.sin-i;, z=:r$.

Nommons ensuite l la latitude de l'étoile m', et (/ sa longitude; nous aurons

a;'= r . cos. /. cos.f/, /' = ^'- ^^s. l. sin.ï7, zr=r. sîn. /;

d'où l'on tire, en négligeant les puissances descendantes de r\ au-dessus de r\

j. ni m.r'' J2 — 3. -COS*./ — 3. COS*. /.COS. (ai; — af/))

r 4r'' "j — 65. sin.2/.cos.(v — U) \

Maintenant, r, /, et f/, variant d'une manière presque insensible, si l'on désigne par R^^ U partie de R divisée par r'; on a, en négligeant le carré de l'excentricité de l'orbite de m, et le terme dépendant de 5, et qui est de l'ordre des forces perturbatrices que m éprouve par l'action des planètes,

/cli{^iR-^.(^-3.cos'./),

La formule (A) deviendra ainsi, en supposant |x=i, ce qui revient à très-peu près à prendre pour unité la masse du soleil,

5r— - 4«. COS. v.fndu rR. sin. v — ^a.sïn. v.fndt. rR. cos.v.

Substituons pour r sa valeur a.\i-he. cos. [v — t»)}, et pour ndt, sa valeur dv.\i — 2 e. cos.(r — ttT)j; et négligeons sous le signe/, les termes périodiques affectés de Tangle v; nous aurons

r. R^. sin. v =^ — '-j-ii — . j (1 — 4. cos*. /) . e. sin. t» + -f . cos'. /. e. sin. (t»— 2 f/) }, r.R^.cos.v= — ^4^ — .j(i— Y.cos\/).e. cos.'cy — y. cos*./.e.cos.(ttT— 2f/)j;

ce qui donne, en regardant t», /, r et U, comme constants à trèspeu près,

= ^7^.|(i— -f-. cos\/).e.sin.(r — tsr)— •f.cos\/.e.sin.(t;+tar---2f/)|.

Maintenant on a

— r=:Se. cos.(i; — ^)-\-e. S«.sin.(t? — «);

en comparant cette équation à la précédente, on aura

3 3m'.a\v il'/ TT\

e = — j—r^ — .cos*. /.e. Sm.(2ttT — 2t/),

rf«r= \ ' .\i — ^.cos\l — J. cosV /. cos.(2'cr — 2f/)|.

Ainsi l'action de Tétoile m produit des variations séculaires dans l'excentricité et dans la longitude du périhélie de l'orbite de la planète m; mais ces variations sont incomparablement plus petites que celles qui sont dues à l'action des autres planètes. En effet, si l'on suppose que m soit la terre, r ne peut pas, d'après les

observations, être supposé plus petit que looooo.a, et alors le

m\a\v , ,1 terme 7^ — n excède pas

m't. o^oooooooo4♦

t exprimant un nombre d*années juliennes; ce qui est incomparablement au-dessous de la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre, résultante de l'action des planètes, et qui par le n^ 25 est égale à

— t.o\2SQ56bj

à moins qu'on ne suppose à m' une valeur entièrement invraisemblable. De là nous pouvons conclure que l'action des étoiles n'a aucune influence sensible sur les variations séculaires des excentricités et des périhélies des orbes planétaires; et il est facile de voir par le développement de la formule (Z) , que leur action n'a pareillement aucune influence sensible sur la position de ces orbes.

Examinons présentement leur influence sur le moyen mouvement des planètes. Pour cela, nous observerons que la formule [Y) donne dans d.Sv, le terme liandt.R, et par conséquent le terme

— 'j^.ndt.\2 — 3.C0S*. /j.

Supposons r égal à r'. (1 — cet), et l égal à L(i — ê/), r et l^ étant les valeurs de r et de / en 1 760, ou lorsque f=o ; on aura dans âv la variation

TT-. 1 — T'COS\l\.a.nV Tr-sm- 2l.S.nV.

Les observations ne donnent point la valeur de af, mais elles peuvent faire connaître celle de êf. En supposant pour la terre,

ê=i', et r'= looooo.a^ la quantité — 'j^.&.nV devient à trèspeu près

quantité insensible depuis les observations les plus anciennes.

L'expression de dâv contient encore, par ce qui précède, les termes

— ^.m. a\ ndt.fà.-^ — 7^ — . cos.(t; — U)\ 77— • ^. sin. 2/. cos.{r — U) ;

or on a

s^zzt-n-. sin. V — '• ^- COS. V ;

ce qui donne, en négligeant les quantités multipliées par le sinus et le cosinus de Tangle v,