THÉORIE DE LA LUNE

La théorie de la lune a des difficultés qui lui sont propres, et qui résultent de la grandeur de ses nombreuses inégalités, et du peu de convergence des séries qui les donnent. Si cet astre était plus près de la terre, les inégalités de son mouvement seraient moindres, et leurs approximations plus convergentes. Mais, à la distance où il se trouve, ces approximations dépendent d'une analyse très-compliquée, et ce nest quavec une attention particulière et au moyen de considérations délicates, que l'on peut déterminer l'influence des intégrations successives sur les différents termes de l'expression de la force perturbatrice. Le choix des coordonnées n'est point indifliérent au succès des approximations : la force perturbatrice du soleil dépend des sinus et cosinus des élongations de la lune au soleil, et de ses multiples : leur réduction en sinus et cosinus d'angles dépendants des moyens mouvements du soleil et de la lune est pénible et peu convergente, à raison des grandes inégalités de la lune; il y a donc de l'avantage à éviter cette réduction, et à déterminer la longitude moyenne de la lune, en fonction de sa longitude vraie, ce qui peut être utile dans plusieurs circonstances. On pourra ensuite, si on le juge convenable, déterminer avec précision, par le retour des séries, la longitude vraie, en fonction de la longitude moyenne. C'est sous ce point de vue que je vais envisager la théorie de la lune.

Pour ordonner les approximations, je distingue en divers ordres les inégalités et les termes qui les composent. Je considère comme quantités du premier ordre le rapport du moyen mouvement du soleil à celui de la lune, les excentricités des orbes de

la lune et de la terre, et rinclinaison de Torbe lunaire à Técliptique. Ainsi, dans l'expression de la longitude moyenne en fonction de la longitude vraie, le principal terme de l'équation du centre de la lune est du premier ordre : le second ordre comprend le second terme de cette équation, la réduction à Técliptique, et les trois grandes inégalités connues sous les noms de variation, d'évection et d'équation annuelle. Les inégalités du troisième ordre sont au nombre de quinze : les tables actuelles les renferment toutes, ainsi que les inégalités les plus considérables du quatrième ordre; et cest par là qu elles représentent les observations, avec une précision qu'il sera difficile de surpasser, et à laquelle la géographie et Tastronomie nautique sont principalement redevables de leurs progrès.

Mon objet, dans ce livre, est de montrer dans la seule loi de la pesanteur universelle, la source de toutes les inégalités du mouvement lunaire, et de me servir ensuite de cette loi, comme moyen de découvertes, pour perfectionner la théorie de ce mouvement, et pour en conclure plusieurs éléments importants du système du monde, tels que les équations séculaires de la lune, sa parallaxe, celle du soleil, et l'aplatissement de la terre. Un choix avantageux de coordonnées, des approximations bien conduites, et des calculs faits avec soin et vérifiés plusieurs fois, doivent donner les mêmes résultats que l'observation , si la loi de la pesanteur en raison inverse du carré des distances est celle de la nature. Je me suis donc attaché à remplir ces conditions, qui exigent des considérations très-délicates, dont l'omission est la cause des discordances que présentent les théories connues de la lune. C'est dans ces diverses considérations que consiste la vraie difficulté du problème. On peut aisément imaginer un grand nombre de moyens différents et nouveaux de le mettre en équation; mais la discussion de tous les termes qui, très-petits en eux-mêmes, acquièrent une valeur sensible par les intégrations successives, est ce qu'il offre de plus

difficile et de plus important, lorsque Ton se propose de rapprocher la théorie de Tobservation; ce qui doit être le but principal de Tanalyse. Tai déterminé toutes les inégalités du premier, du second et du troisième ordre, et les inégalités les plus considérables du quatrième, en portant la précision jusqu*aux quantités du quatrième ordre inclusivement, et en conservant celles du cinquième ordre, qui se sont présentées d'elles-mêmes. Pour comparer ensuite mon analyse aux observations, j'ai considéré que les coefficients des tables lunaires de Mason sont le résultat de la comparaison de la théorie de la pesanteur, avec onze cent trente-sept observations de Bradley, faites dans Fintervalle de 1 760 à 1 760. Burg, astronome distingué, vient de les rectifier au moyen de plus de trois mille observations de Maskeline, depuis 1 765 jusqu'en 1 798 ; les corrections qu'il y a faites sont peu considérables : il y a ajouté neuf équations indiquées par la théorie. Les tables de ces deux astronomes sont disposées dans la même forme que celles de Mayer, dont elles sont des perfectionnements successifs; car on doit à cet astronome célèbre la justice d'observer non-seulement qu'il a formé, le premier, des tables lunaires assez précises pour servir à la solution du problème des longitudes , mais encore que Mason et Burg ont puisé dans sa théorie les moyens de perfectionner leurs tables. On y fait dépendre les arguments les uns des autres pour en diminuer le nombre : je les ai réduites, avec un soin particulier, à la forme que j'ai adoptée dans ma théorie, c'est-à^ire en sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement à la longitude vraie de la lune. En y comparant les coefficients de mes formules, j'ai eu la satisfaction de voir que la plus grande différence qui, dans la théorie de Mayer, l'une des plus exactes qui aient paru jusqu'à ce jour, s'élève à près de cent secondes, est ici réduite à trente, relativement aux tables de Mason, et au-dessous de vingt-six secondes, relativement aux tables de Burg, qui sont encore plus

précises. On diminuerait cette différence en ayant égard aux quantités du cinquième ordre, qui ont de Tinfluence, et que Tinspèction des termes déjà calculés peut faire connaître : c est ce que prouve le calcul de deux inégalités dans lesquelles j'ai porté l'approximation jusqu'aux quantités de cet ordre. Ma théorie se rapproche encore plus des tables à l'égard du mouvement en latitude : les. approximations de ce mouvement sont plus simples et plus convergentes que celles du mouvement en longitude; et la plus grande différence entre les coefficients de mon analyse et ceux des tables n est que de six secondes , en sorte que l'on peut regarder cette partie des tables comme étant donnée par la théorie elle*méme. Quant à la troisième coordonnée de la lune, ou à sa parallaxe, on a préféré avec raison d'en fonner les tables, uniquement par la théorie qui , vu la petitesse des inégalités de la parallaxe lunaire, doit les donner plus exactement que les observations. Les différences entre mes résultats sur cet objet, et ceux des tables, sont donc celles qui existent entre ma théorie et celle de Mayer, suivie dans ce point par Mason et Burg : elles sont si petites, qu'elles méritent peu d'attention; mais comme ma théorie se rapproche plus de l'observation que celle de Mayer, à l'égard du mouvement en longitude, j'ai lieu de penser qu'elle jouit du même avantage à l'égard des inégalités de la parallaxe.

Les mouvements du périgée et des nœuds de l'orbe lunaire offrent encore un moyen de vérifier la loi de la pesanteur* Leur première approximation n'avait donné d'abord aux géomètres que la moitié du premier de ces mouvements, et Clairaut en avait oondu qu'il fallait modifier cette loi en lui ajoutant un second terme. Mais il fit ensuite l'importante remarque, qu'une approximation ultérieure rapprochait la théorie de l'observation. Le mouvement conclu de mon analyse ne diffère pas du véritable, de sa quatre-cent-quarantième partie : la différence n'est pas d'un troiseentrdnquantième, à l'égard du mouvement des nœuds.

De là il suit incontestablement que la loi de la gravitation universelle est Tunique cause des inégalités de la lune; et si Ton considère le grand nombre et Tétendue de ces inégalités, et la proximité de ce satellite à la terre, on jugera qu il est de tous les corps célestes le plus propre à établir cette grande loi de la nature, et la puissance de l'analyse, de ce merveilleux instrument sans lequel il eût été impossible à Fesprit humain de pénétrer dans une théorie aussi compliquée, et qui peut être employé comme un moyen de découvertes aussi certain que l'observation elle-même.

Parmi les inégalités périodiques du mouvement lunaire en longitude, celle qui dépend de la simple distance angulaire delà lune au soleil est importante en ce qu elle répand un grand jour sur la parallaxe solaire. Je l'ai déterminée en ayant égard aux quantités du cinquième ordre, et même aux perturbations de la terre par la lune, ce qui est indispensable dans cette recherche épineuse. Burg l'a trouvée de 877^71 par la comparaison d'un très-grand nombre d'observations. En égalant ce résultat à celui de mon analyse, on a 3 6'',^2o5 pour la parallaxe moyenne du soleil, la même que plusieurs astronomes ont conclue du dernier passage de Vénus sur cet astre.

Une inégalité non moins importante est celle qui dépend de la longitude du nœud de la lune. L'observation l'avait indiquée à Mayer, et Mason l'avait fixée à 23^766; mais, comme elle ne paraissait pas résulter de la théorie de la pesanteur, la plupart des astronomes la négligeaient. Cette théorie approfondie m'a fait voir qu'elle a pour cause l'aplatissement de la terre. Burg Ta trouvée, par un grand nombre d'observations de Maskeline, égale

à 2o\gS^ ; ce qui répond à l'aplatissement -j-^ — ^.

On peut encore déterminer cet aplatissement au moyen d'une inégalité du mouvement lunaire en latitude , que la théorie m'a fait connaître, et qui dépend du sinus de la longitude vraie de

la lune : elle est le résultat d'une nutation dans l'orbe lunaire, produite par l'action du sphéroïde terrestre, et correspondante à celle que la lune produit dans notre équateur, de manière que f une de ces nutations est la réaction de l'autre; et si toutes les molécules de la terre et de la lune étaient fixement liées entre elles par des droites inflexibles et sans masse, le système entier serait en équilibre autour du centre de gravité de la terre, en vertu des forces qui produisent ces deux nutations, la force qui anime la lune compensant sa petitesse par la longueur du levier auquel elle serait attachée. On peut représenter cette inégalité en latitude, en concevant que l'orbe lunaire, au lieu de se mouvoir uniformément sur l'écliptîque, avec une inclinaison constante, se meut, avec les mêmes conditions, sur un plan très-peu incliné à l'écliptique, et passant constamment par les équinoxes, entre TécHptique etl'équateur: phénomène que nous retrouverons d'une manière encore plus sensible dans la théorie des satellites de Jupiter.

Ainsi, cette inégalité diminue l'inclinaison de l'orbite lunaire à Técliptique, lorsque le nœud ascendant de cette orbite coïncide avec l'équinoxe du printemps; elle l'augmente, lorsque ce nœud coïncide avec l'équinoxe d'automne ; ce qui , ayant eu lieu en 1755, a rendu trop grande l'inclinaison que Mason a déterminée par les observations de Bradley de 1760 à 1760. En effet, Burg, qui l'a déterminée par des observations faites dans un plus long intervalle, et en ayant égard à l'inégalité précédente, a trouvé une inclinaison plus petite de ll^4a• Cet astronome a bien voulu, à ma prière, déterminer le coefficient de cette inégalité, par un très-grand nombre d'observations, et il l'a trouvé égal

à — 24^69l4 : il en résulte ^ . ^ pour l'aplatissement de la terre,

le même, à très-peu près, que donne l'inégalité précédente du mouvement en longitude. Ainsi la lune, par l'observation de ses

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mouvements, rend sensible à Tastronomie perfectionnée, Tellipticité de la terre, dont elle fit connaître la rondeur, aux premiers astronomes, par ses éclipses. Les expériences du pendule semblent indiquer un aplatissement un peu moindre, comme on Ta vu dans le troisième livre : cette difiFérence peut dépendre des termes par lesquels la terre s'écarte de la figure elliptique, et qui, peu sensibles dans l'expression de la longueur du pendule, deviennent insensibles à la distance de la lune.

Les deux inégalités précédentes méritent toute l'attention des observateurs, car elles ont sur les mesures géodésiques l'avantage de donner l'aplatissement de la terre, d'une manière moins dépendante des irrégularités de sa figure. Si la terre était homogène, elles seraient beaucoup plus grandes que suivant les observations, qui concourent ainsi, avec les phénomènes de la précession des équinoxes, et de la variation de la pesanteur, à exclure l'homogénéité de la terre. Il en résulte encore que la pesanteur de la lune vers la terre se compose des attractions de toutes les molécules de cette planète; ce qui fournit une nouvelle preuve de l'attraction de toutes les parties de la matière.

La théorie, combinée avec les expériences du pendule, les mesures géodésiques, et les phénomènes des marées, donne la constante de l'expression de la parallaxe lunaire, plus petite que suivant les tables de Mason. Elle est très-peu difiérente de celle que Burg a déterminée par un grand nombre d'observations de la lune, d'éclipsés de soleil et d'occultations d'étoiles par la lune : il suffit de diminuer un peu la masse de ce satellite, déterminée par les phénomènes des marées, pour faire coïncider cette constante avec le résultat de cet habile astronome; et cette diminution est indiquée par les observations de l'équation lunaire des tables du soleil, et de la nutation de l'axe terrestre; ce qui semble prouver que dans le port de Brest le rapport de l'action de la lune à celle du soleU sur la mer est sensiblement augmenté par

les circonstances locales. Des observations ultérieures de tous ces phénomènes lèveront cette légère incertitude.

L'un des plus intéressants résultats de la théorie de la pesanteur est la connaissance des inégalités séculaires de la lune. Les anciennes éclipses indiquaient dans son mouvement moyen une accélération dont on a cherché longtemps et inutilement la cause. Enfin la théorie m'a fait connaître qu elle dépend des variations séculaires de rexcentricité de l'orbe terrestre; que la même cause ralentit les moyens mouvements du périgée de la lune et de ses nœuds, quand celui de la lune s'accélère; et que les équations séculaires des moyens mouvements de la lune, de son périgée et de ses nœuds, sont constamment dans le rapport des nombres 1, 3 et 0,74. Les siècles à venir développeront ces grandes inégalités, qui sont périodiques comme les variations de l'excentricité de l'orbe terrestre, dont elles dépendent, et qui produiront, un jour, des variations au moins égales au quarantième de la circonférence, dans le mouvement séculaire de la lune, et au douzième de la circonférence, dans celui de son périgée. Déjà les observations les confirment avec une précision remarquable : leur découverte me fit juger qu'il fallait diminuer de quinze à seize minutes le mouvement séculaire actuel du périgée lunaire, que les astronomes avaient conclu par la comparaison des observations modernes aux anciennes : toutes les observations faites depuis un siècle ont mis hors de doute ce résultat de l'analyse. On voit ici un exemple de la manière dont les phénomènes, en se développant, nous éclairent sur leurs véritables causes. Lorsque la seule accélération du moyen mouvement de la lune était connue, on pouvait l'attribuer à la résistance de l'éther, ou à la transmission successive de la gravité; mais l'analyse nous montre que ces deux causes ne produisent aucune altération sensible dans les moyens mouvements des nœuds et du périgée lunaire; ce qui suffirait pour les exclure, quand même la vraie cause serait

encore ignorée. L'accord de la théorie avec les observations nous prouve que si les moyens mouvements de la lune sont altérés par des causes étrangères à Taction de la pesanteur, leur influence est très-petite, et jusqu'à présent insensible.

Cet accord établit d'une manière certaine la constance de la durée du jour, élément essentiel de toutes les théories astronomiques. Si cette durée surpassait maintenant d'un centième de seconde, celle du temps d'Hipparque, la duréç du siècle actuel serait plus grande qu'alors, de 3 6 5", 2 5 : dans cet intervalle, la lune décrit un arc de 5 3 4", 6; le moyen mouvement séculaire actuel de la lune en paraîtrait donc augmenté de cette quantité, ce qui ajouterait i3",5i à son équation séculaire, que je trouve, par la théorie, de 3i\4248 pour le premier siècle compté de 1 760. Cette augmentation est incompatible avec les observations, qui ne permettent pas de supposer une équation séculaire plus grande de b" que celle qui résulte de mon analyse; on peut donc affirmer que la durée du jour n'a pas varié d'un centième de seconde depuis Hipparque; ce qui confirme ce que j'ai trouvé à priori dans le n° 12 du cinquième livre, par la discussion de toutes les causes qui peuvent l'altérer.

Pour ne rien omettre de ce qui peut influer sur le mouvement de la lune, j'ai considéré l'action directe des planètes sur ce satellite, et j'ai reconnu qu'elle est très-peu sensible. Mais le soleil, en lui transmettant leur action sur les éléments de l'orbe terrestre , rend leur influence sur les mouvements lunaires très-remarquable, et beaucoup plus grande que sur ces éléments euxmêmes; en sorte que la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre est beaucoup plus sensible dans le mouvement de la lune que dans celui de la terre. C'est ainsi que l'action de la lune sur la terre, d'où résulte dans le mouvement de cette planète l'inégalité connue sous le nom d'équation lunaire, est, si je puis m'exprimer ainsi, réfléchie à la lune par le moyen du soleil, mais

affaiblie à peu près dans le rapport de cinq à neuf. Cette considération nouvelle ajoute à l'action des planètes sur la lune, des termes plus considérables que ceux qui dépendent de leur action directe. Je développe les principales inégalités lunaires résultantes des actions directes et indirectes des planètes sur la lune : vu la précision à laquelle on a porté les tables de la luné, il serait utile dy introduire ces inégalités.

La parallaxe de la lune, l'excentricité et l'inclinaison de son orbite à l'écliptique vraie, et généralement les coefficients de toutes les inégalités lunaires, sont pareillement assujettis à des variations séculaires; mais elles sont jusqu'à présent très -peu sensibles. C'est la raison par laquelle on retrouve aujourd'hui la même inclinaison que Ptolémée avait conclue de ses observations, quoique l'obliquité de l'écliptique à l'équateur ait diminué sensiblement depuis cet astronome; en sorte que la variation séculaire dé cette obliquité n'afîecte que les déclinaisons de là lune. Cepeîidant le coefficient de l'équation annuelle ayant pour facteur Texcentricité de l'orbe terrestre, sa variation est assez grande pour y avoir égard dans le calcul des anciennes éclipses.

Lèis îiombreuses comparaisons que Burg et Bouvard ont faites des tables de Mason, avec les observations lunaires de la fin du xvn* siècle, par Lahire et Flamsteed, du milieu du xviii^ par Bradley, et avec la suite non interrompue des observations de Maskeline, depuis Bradley jusqu'à ce jour, présentent un résultat auquel on était loin de s'attendre. Les observations de Lahiré et de Flamsteed, comparées à celles de Bradley, indiquent on mouvement séculaire plus grand de quinze à vingt secondes que celui des tables lunaires insérées dans la troisième édition de TÀstronomie de Lalande, et qui, dans l'intervalle de cent années» juliennes, excède un nombre entier de circonférences, de 342%096a9 :les observations de Bradley, comparées aux dernières observations de Maskeline, donnent au contraire un mouvement

séculaire plus petit de cent cinquante secondes au moins. Enfin les observations faits depuis quinze à vingt ans prouvent que cette diminution du mouvement de la lune est maintenant croissante. De là résulte la nécessité de retoucher sans cesse aux époques des tables, imperfection qu'il importe de faire disparaître. Elle indique évidemment l'existence d'une ou de plusieurs inégalités inconnues à longues périodes, que la théorie seule peut faire connaître. En l'examinant avec soin, je n'ai remarqué aucune inégalité semblable dépendante de l'action des planètes. S'il en existait une dans la rotation de la terre, elle se manifesterait dans le moyen mouvement de la lune, et pourrait y produire les anomalies observées; mais l'examen attentif de toutes les causes qui peuvent altérer la rotation de la terre m'a convaincu de plus en plus que ses variations sont insensibles. Revenant donc à l'action du soleil sur la lune, j'ai reconnu que cette action produit une inégalité dont l'argument est le double de la longitude du nœud de l'orbite lunaire, plus la longitude de son périgée, moins trois fois la longitude du périgée du soleil. Cette inégalité^ dont la période est de i84 ans, dépend du produit de ces quatre quantités : le carré de l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliptique, l'excentricité de cet orbe, le cube de l'excentricité de l'orbe solaire, et le rapport de la parallaxe du soleil à celle de la lune; elle paraît ainsi devoir être insensible , mais les grands diviseurs qu'elle acquiert par les intégrations peuvent la rendre sensible, surtout si les termes les plus considérables dont elle se compose sont a£Pectés du même signe. Il est très-difficile d'obtenir son coefficient par la théorie, à cause du grand nombre de ses termes, et de l'extrême difficulté de les apprécier, difficulté beaucoup plus grande encore qu'à l'égard des autres inégalités de la lune; j'ai donc déterminé ce coefficient au moyen des observations faites depuis un siècle, et j'ai reconnu qu'il est égal à peu près à 47^5l. Son introduction dans les tables doit en changer les

époques et le moyen mouvement. J'ai trouvé ainsi qu'il faut diminuer de 98^664 le moyen mouvement séculaire des tables de la troisième édition de l'Astronomie de Lalande , et j'en ai con^ cIq la formule suivante, qui doit être appliquée à la longitude moyenne donnée par ces tables dont l'époque en 1760 est ao9%ao8ao :

i étant le nombre des siècles écoulés depuis 1 7 5o ; E étant le double de la longitude du nœud de l'orbite lunaire, plus la longitude de son périgée, moins trois fois la longitude du périgée du soleil. Cette formule représente avec une précision remarquable les corrections des époques de ces tables, déterminées par un très-grand nombre d'observations, pour les six époques de 1691» 1756, 1766, 1779, 1789 et 1801; et comme la théorie, eiaminée avec la plus scrupuleuse attention, ne m'a point indiqué d*autres inégalités lunaires à longues périodes, il me paraît certain que les anomalies observées dans le moyen mouvement de la lune dépendent de l'inégalité précédente; je ne balance donc point à la proposer aux astronomes, comme le seul moyen de corriger ces anomalies.

On voit par cet exposé combien d'éléments intéressants et délicats Tanalyse a su tirer des observations de la lune, et combien il importe de multiplier et de perfectionner ces observations, qui par leur grand nombre et leur précision mettront de plus en plus en évidence ces divers résultats de l'analyse.

L'erreur des tables formées d'après la théorie que je présente dans ce livre ne s'élèverait à cent secondes que dans des cas fort rares; ces tables donneraient donc, avec une exactitude suffisante, la longitude sur la mer. Il est très-facile de les réduire à la forme des tables de Mayer; mais comme dans le problème des longitudes on se propose de trouver le temps qui correspond à

une longitude vraie observée de la lune, il y a quelque avantage à réduire en tables l'expression du temps en fonction de cette longitude. Vu l'extrême complication des approximations successives et la précision des observations modernes, la plupart des inégalités lunaires ont été jusqu'ici mieux déterminées par les observations que par l'analyse. Ainsi, en empruntant de la théorie ce qu'elle donne avec exactitude, et la forme de tous les arguments; en rectifiant ensuite par la comparaison d'un très-grand nombre d'observations ce qu'elle donne par des approximations qui laissent quelque incertitude, on doit parvenir à des tables très-précises. C'est la méthode que Mayer et Mason ont employée avec succès; et en dernier lieu, Burg, en la suivant et s'aidant des nouveaux progrès de la théorie lunaire, vient de construire des tables dont les plus grandes erreurs sont au-dessous de quarante secondes. Cependant, il serait utile pour la perfection des théories astronomiques, que toutes les tables dérivassent du seul principe de la pesanteur universelle, en n'empruntant de l'observation que les données indispensables. JTose croire que l'analyse suivante laisse peu de chose à faire pour procurer cet avantage aux tables de la lune, et qu'en portant plus loin encore les approximations, on y parviendra bientôt, du moins à l'égard des inégalités périodiques; car quelque précision que l'on apporte dans les calculs, les mouvements des nœuds et du périgée seront toujours mieux déterminés par les observations.