INTÉGRATION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT LUNAIRE
1. Reprenons les équations diflFérentielles {K) du n"" 15 du second livre, et donnons-leur la forme suivante,
dt= ^"^
h*'\du) h*a\ds)' ^^f
s (dQ\ ji-hss) /dQ\
h'a'\du) A>a' '{ds)'
dans ces équations, t exprime le temps, et Ton a
f)__M-hm m'.{xx'-{-yy'-i-zz') m'
~~~^ "^^ ^ \/{x'—xy-h{y'—yyM^'—zY '
M, m et m' sont les masses de la terre, de la lune et du soleil; X, y, z sont les coordonnées de la lune rapportées au centre de gravité de la terre, et à une éciiptique fixe; oc, y, z sont les coordonnées du soleil; r et t sont les rayons vecteurs de la lune et du soleil; 5 est la tangente de la latitude de la lune au-dessus du plan
fixe; -est la projection de son rayon vecteur sur le même plan;
V est l'angle fait par cette projection, et par Taxe des x; enfin h* est une constante arbitraire dépendante principalement de la distance de la lune à la terre.
La valeur précédente de Q suppose la terre et la lune sphériques. Pour avoir sa vraie valeur due à la non sphéricité de ces corps, nous observerons que parles propriétés du centre de gravité il faut transporter au centre de gravité de la lune, i*^ toutes les forces dont chacune de ses molécules est animée par Faction des molécules de la terre, et diviser leur somme par la masse entière de la lune; 2° les forces dont le centre de gravité de la terre est animé par l'action de la lune , prises en sens contraire. Cela posé, il est facile de voir que dM étant une molécule de la terre, et dm une molécule de la lune, dont la distance à la molécule dM est/, on aura les forces dont le centre de gravité de la lune est animé dans son mouvement relatif autour de la terre, au moyen des différences partielles de la double intégrale
(M-f-m) r mi. dm Mm jj f
prises par rapport aux coordonnées du centre de la lune. Ainsi Ton doit substituer cette fonction à , dans l'expression précédente de Q. Si la lune était sphérique, on pourrait, par le n"* 12 du second livre, supposer sa masse entière réunie à son centre
de gravité; on aurait donc alors // j — égal à la masse m de
la lune, multipliée par la somme de toutes les molécules de la terre, divisées par leurs distances respectives au centre de la lune; en nommant ainsi V cette somme, on aurait
ff
dM . dm jr
K serait égal à —, si la terre était sphérique; en désignant donc
F par 5 F, m. <î F sera la partie de l'intégrale // — j — , due
à la non sphéricité de la terre. Si Ton nomme pareillement F' la somme des molécules de la lune , divisées par leurs distances au centre de gravité de la terre supposée sphérique, on aura
dM.dm ,-- T7' = Aï.F ;
en désignant ainsi par 5 F', la différence F' , M. 5 F' sera la
partie deTintégrale// — j — , due à la non sphéricité de la lune; on aura donc à très-peu près,
de Q, , de la quantité
11 faut par conséquent augmenter dans Texpression précédente
